פתיחת התפריט הראשי

בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שמוגדרת עליה פונקציה סימטרית וחיובית, המקיימת את אי שוויון המשולש. פונקציה כזו (הנקראת מטריקה) מקיימת את התכונות היסודיות של המרחק הגאוגרפי, ולכן רואים בה הכללה של מושג המרחק. המטריקה מאפשרת להגדיר במרחב כדורים, שבזכותם יש למרחבים מטריים תכונות טופולוגיות קיצוניות.

תוכן עניינים

הגדרהעריכה

מטריקה על קבוצה לא ריקה S היא פונקציה   המקיימת את התכונות הבאות לכל  :

  • אי-שליליות:   ו-  אם ורק אם  ;
  • סימטריות:  
  • אי שוויון המשולש:  .

קבוצה שמוגדרת עליה מטריקה נקראת מרחב מטרי.

דוגמאותעריכה

מרחבים נורמיים הם דוגמה חשובה למרחב מטרי, שהרי הנורמה מאפשרת להגדיר מטריקה על ידי  . בפרט הישר והמישור הם מרחבים מטריים מהסוג הזה, כאשר המטריקה היא המרחק הגאומטרי המוכר.

על כל קבוצה אפשר להגדיר את המטריקה  . מטריקה זו ידועה בתור "המטריקה הדיסקרטית" והטופולוגיה שמשרה היא הטופולוגיה הדיסקרטית (כלומר, במרחב זה כל קבוצה היא קבוצה פתוחה)

מרחב מטרי כמרחב טופולוגיעריכה

במרחב מטרי, קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת קטן מקבוע חיובי מסוים, נקראת "כדור פתוח". קבוצה המוכלת בכדור כזה נקראת קבוצה חסומה (ואם המרחב כולו הוא קבוצה חסומה, אומרים שהמרחב חסום).

אוסף הכדורים הפתוחים מהווה בסיס לטופולוגיה, וכך אפשר לראות כל מרחב מטרי כמרחב טופולוגי. בניגוד לסתם מרחב טופולוגי, כל מרחב מטרי מקיים את תכונת ההפרדה T4 (יתרה מזאת, כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמלי באופן מושלם או T6). מרחב מטרי הוא מרחב קומפקטי אם ורק אם הוא חסום כליל ושלם. אם המרחב חסום כליל, ההשלמה שלו היא דוגמה לקומפקטיפיקציה.

מרחב טופולוגי שניתן להגדיר עליו מטריקה שתגדיר את הטופולוגיה שלו נקרא מרחב מטריזבילי.

אוסף המרחבים המטרייםעריכה

האוסדורף הגדיר מטריקה בין תת-הקבוצות הסגורות של מרחב מטרי קומפקטי, לפי  , כאשר  . בהגדרה זו השתמש גרומוב (אנ') כדי להגדיר את המרחק בין שני מרחבים מטריים, כמרחק (של האוסדורף) המינימלי בין כל שתי תמונות איזומטריות של המרחבים, במרחב מטרי שלישי. הגדרה זו מובילה ל"טופולוגיית האוסדורף-גרומוב", שלפיה סדרת מרחבים מטריים מנוקדים מתכנסת למרחב מטרי מנוקד, אם לכל R, המרחקים בין הכדורים ברדיוס R במרחבים הנתונים, לבין הכדור ברדיוס R במרחב המטרה, שואפים לאפס.

מרחבים אולטרה-מטרייםעריכה

פונקציה המקיימת את האקסיומה   (שהיא חזקה יותר מאי שוויון המשולש) נקראת אולטרה-מטריקה. מרחב שמוגדרת עליו אולטרה-מטריקה נקרא מרחב מטרי לא ארכימדי, או מרחב אולטרה-מטרי.

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

קישורים חיצונייםעריכה


  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.