שדה המחלקה של הילברט

שדה המחלקה של הילברט, עבור שדה מספרים נתון , הוא ההרחבה הקטנה ביותר שבה כל האידיאלים בחוג השלמים של נעשים ראשיים. שדה המחלקה הוא הרחבת גלואה של , וחבורת גלואה של ההרחבה איזומורפית לחבורת המחלקות של K.

הגדרהעריכה

יהי   שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים  ). שדה המחלקה של הילברט   הוא הרחבת גלואה האבלית הלא-מסועפת המקסימלית של  .

תכונותעריכה

  • ההרחבה   היא הרחבת גלואה מממד סופי של   ומקיימת   כאשר   היא חבורת מחלקות האידיאלים (class group) של   (חבורה זו מורכבת ממחלקות השקילות של אידיאלים בחוג השלמים של  , עם יחס השקילות שאידיאלים   ו-  שקולים אם הם שווים עד כדי כפל באידיאלים ראשיים:  ).
  • חבורת מחלקות האידיאלים איזומורפית לחבורת גלואה של ההרחבה:  .
  • כל אידיאל ב-  הוא אידיאל ראשי ב- .
  • כל אידיאל ראשוני   ב-  מתפרק למכפלה של   אידיאלים ראשוניים ב-  כאשר   הוא הסדר של   בחבורת מחלקות האידיאלים  .

מסקנהעריכה

מתכונות אלו ברור ש-  הוא תחום ראשי אם ורק אם  , כלומר: הוא שדה המחלקה של עצמו. במקרה זה חבורת גלואה של ההרחבה היא טריוויאלית, ואז גם חבורת מחלקות האידיאלים טריוויאלית: כלומר - כל האידיאלים בחוג השלמים הם ראשיים.

  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.