שיחה:אי-שוויון המשולש

מה זו בדיוק תווית ה"נבדק"? {{נבדק}}?

תבנית שמטרתה לסמן שהערך, אפילו שנערך רק מספר קטן של פעמים, לא זקוק לשכתוב או הרחבה בטווח המיידי. בפועל, הוא משמש בתור סמן כדי לא להכניס אותו שוב לרשימת ויקיפדיה:מאמרים שנערכו מעט בעידכון האוטומטי הבא שלה. גדי אלכסנדרוביץ' 21:20, 22 אפר' 2005 (UTC)

משולשים מנוונים

בערך משולש אפשר לדון האם משולש מנוון נחשב או לא נחשב למשולש; כאן אין בכלל שאלה: ברור שאי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון חלש (הוא הרי תקף גם במקומות שאין בכלל משמעות למלה "משולש"), ולכן ההצדקה לשמו צריכה להשען על המשמעות הרחבה יותר של המונח. עוזי ו. - שיחה 17:11, 2 בפברואר 2011 (IST)

לרוע המזל, האמירה בערך אינה מנוסחת לגבי אי שוויון המשולש, כי אם לגבי המשולש עצמו: "במשולש, אורכה של כל צלע קטן או שווה..." - ואין זו ההגדרה המקובלת למשולש. וכמו שיש לערך דף שיחה, יש לו גם גרסה יציבה. 79.177.199.120 23:04, 2 בפברואר 2011 (IST)

לא שאיכפת לי, אבל לפרוטוקול הוויקי האנגלית, הצרפתית ועד לא מזמן העברית הכלילו משולש מנוון כמשולש. הוויקי בצרפתית אפילו מתאר משולשים מנוונים בצורה מפורשת והאי שיוויון המשולש בערך משולש בצרפתית הוא חלש. מצד שני, דוד ציטט הגדרות אחרות. מאחר שבכל הערך הנוכחי האי שיוויונים הם חלשים, אני לא רואה סיבה למה לא לשמור על קונסיסטנטיות. אבל שוב, לא באמת אכפת לי. בש - שיחה 23:15, 2 בפברואר 2011 (IST)

מקריאה נוספת של תקצירי העריכה של האנונימי אני מתרשמת שהאנונימי אינו מבדיל בין קו לבין משולש מנוון. ובכן, משולש מנוון מוגדר ע"י שלושה קודקודים קוליניאריים שונים. קו ומשולש מנוון הם שני מושגים שונים. בש - שיחה 23:44, 2 בפברואר 2011 (IST)

ההבדלה אינה בין משולש מנוון לבין קו אלא לבין קטע. המקום לדיון בהגדרות המשולש הוא שיחה:משולש, אבל כל עוד לא הובאו אסמכתות המראות כי ההגדרה שכתבת שם היא מקובלת ומצדיקה את שינוי הערך ההוא, לא ניתן לכתוב בערך הזה תוכן שסותר את הנאמר במשולש. 79.177.199.120 23:59, 2 בפברואר 2011 (IST)

אני מציע שתקרא קטע בדף השיחה שלי, שנראה לכאורה לא רלוונטי. עצם המחשבה שיש הגדרה "נכונה" למשולש היא טעות מתמטית. כדי להבין מושג לעומק, טוב להחזיק בארסנל כמה הגדרות שלו, שאולי אינן שקולות מבחינה לוגית, כדי שאפשר יהיה להשתמש בהגדרה הנכונה בהקשר המתאים. כשלומדים גאומטריה נוח להוציא מכלל ההגדרה משולשים מנוונים; אבל כשרוצים ליישם את אותם רעיונות בדיוק במרחב מטרי כללי, נוח יותר להרשות לכל שלשה של נקודות להגדיר משולש, וזו ההגדרה הנכונה בערך הזה. עוזי ו. - שיחה 02:57, 3 בפברואר 2011 (IST)

לא סתם כתבתי "מקובלת" ולא "נכונה". אמנם אפשר להגדיר משולש ששלוש נקודותיו הן על ישר אחד, אבל אם זה לא מקובל, הרי לא נכון להציג זאת באופן טריוויאלי בערך הזה, ולתת את הרושם שהמקרה של שוויון הוא אפשרי ולגיטימי במשולש. הוא אפשרי באלגברה, אבל הוא לא אפשרי בגאומטריה אם אין מקבלים את ההגדרה המרחיבה הזו. לדעתי נתת לערך שירות דוב, אבל לא אכנס למלחמת עריכה. 79.177.199.120 20:02, 4 בפברואר 2011 (IST)

משוב מ-31 באוגוסט 2014

לא ברור... הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
79.182.5.115 16:40, 31 באוגוסט 2014 (IDT)

המשוב עצמו לא ברור. מה לא ברור בערך? עוזי ו. - שיחה 20:23, 31 באוגוסט 2014 (IDT)

הוכחה נוספת וקלה

כיון שלכל $a\in \mathbb {R}$ מוגדר $|a|\geq a$ נוכל להוכיח את אי-שוויון המשולש:

נתון לנו כי $,|a|\geq a$ $.|b|\geq b$

עתה נבדוק למה שווה הביטוי $(|a|+|b|)^{2}$:

$.(|a|+|b|)^{2}=|a|^{2}+2|a||b|+|b|^{2}$

כיון ש- ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ לכל $,a\in \mathbb {R}$ אזי נובע:

1. $|a|^{2}=a^{2}$ וגם $.|b|^{2}=b^{2}$ לכן מתקיים השוויון $.|a|^{2}+|b|^{2}=a^{2}+b^{2}$
2. בנוסף, מנקודה זו מוכח במפורש כי $.|a||b|={\sqrt {a^{2}}}\cdot {\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {a^{2}\cdot b^{2}}}={\sqrt {(ab)^{2}}}=|ab|$

כאן יש לשים לב: מהו היחס בין הביטוי $|ab|$ לביטוי $ab$?

ישנן שתי אפשרויות:

1. אם שני המספרים חיוביים או שליליים כאחד, או אם לפחות אחד מהם שווה $0$ - היחס הוא פשוט השוויון $|ab|=ab$.
2. לעומת זאת, אם אחד המספרים שלילי ורעהו חיובי, היחס הינו $|ab|>ab$.

איחוד שתי האפשרויות הללו מביא ליחס הכללי $,|ab|\geq ab$ הדומה במפתיע להגדרה הראשית לעיל.

לאחר כל זאת ניגש לסיום. נבדוק מה היחס בין הביטוי $|a|^{2}+2|ab|+|b|^{2}$ לביטוי $a^{2}+2ab+b^{2}$:

המשותף ביניהם הוא $|a|^{2}+|b|^{2}=a^{2}+b^{2}$, לכן נתעלם מזה ונתמקד רק בשוני שבין $2|ab|$ והביטוי $2ab$.

מה היחס בין הביטויים? בדיוק $,2|ab|\geq 2ab$ שהוא רק מכפלת $|ab|\geq ab$ הנ"ל ב-$2$.

לכן $.a^{2}+2|ab|+b^{2}\geq a^{2}+2ab+b^{2}$

על-פי נוסחאות הכפל המקוצר נוכל לפרק את הביטויים ולקבל

$(|a|+|b|)^{2}\geq (a+b)^{2}$

נוציא שורש משני האגפים

${\sqrt {(|a|+|b|)^{2}}}\geq {\sqrt {(a+b)^{2}}}$

ועל-פי הגדרת השורש הריבועי לעיל נקבל

${\bigg |}|a|+|b|{\bigg |}\geq |a+b|$.

כיון שהביטוי $|a|+|b|$ אי-שלילי, לכל הדעות ${\bigg |}|a|+|b|{\bigg |}=|a|+|b|$.

ולכן $|a|+|b|\geq |a+b|$. מש"ל. ■

איש הסילונים - שיחה 02:52, 19 באוקטובר 2015 (IDT)

שים לב שהסיבה לכך ש $|ab|\geq ab$ היא פשוט כי $\forall x\in \mathbb {R} |x|\geq x$. חוץ מזה, אתה לא צריך גם לנמק למה $|ab|=|a|\cdot |b|$, שכן ברור שאם אתה לוקח את הערך החיובי של a ושל b זה כמו לקחת את הערך החיובי של המכפלה (כי ברור שלכל היותר הם נבדלים בסימן. כי ההבדל ביניהם זה משחקים עם ערך מוחלט. אבל שניהם הערך החיובי, אז הם לא נבדלים בסימן). 31.154.92.193 12:13, 19 באוקטובר 2015 (IDT)

האם יש טעות בערך?

בויקי האנגלית יש אי שוויון עם גדול ממש ואילו פה יש אי שוויונות עם גדול שווה. האם אנחנו טועים, ויקי באנגלית טועים, או שמא גם בערכים עם שם זהה מראים משוואות שונות? רן כהן • שיחה 09:35, 30 בנובמבר 2015 (IST)

למשוואה מנותקת מהקשר אין שום משמעות. הביטויים שיש בהם אי-שוויון חד (גדול ממש) בוויקיפדיה האנגלית מתייחסים להשוואת ארכי צלעות במשולש (לא מנוון). אי-שוויון המשולש הוא בעל משמעות רחבה יותר, שבה מוכרחים לכלול גם את האפשרות לאי-שוויון קהה (גדול או שווה). עוזי ו. - שיחה 14:54, 30 בנובמבר 2015 (IST)