שיחת פורטל:מתמטיקה/חידה/68

רק כדי שאני אדע, מישהו חושב על החלק השני של החידה בכלל? כי אני לא הצלחתי לפתור אותה...יעקב יעקב - שיחה 00:17, 13 באפריל 2009 (IDT)

אני עוד לא עברתי את התוצאה הפרדוקסלית של החלק הראשון, שבו המסקנה היא שמהירותו הממוצעת של הצב היא 0, בזמו שברור שבכל נקודה לאורך מסלולו המהירות גדולה מ-0 (אמנם שואפת ל-0, אבל תמיד גדולה מ-0), ואם כך, איך ייתכן שהממוצע הוא 0? שואף ל-0 קל לי להבין, אבל ממש אפס? דוד שי - שיחה 01:26, 13 באפריל 2009 (IDT)

אתה צודק, המהירות הממוצעת באמת שואפת לאפס ככל שהזמן שואף לאינסוף. הרשיתי לעצמי לכתוב את זה באופן לא כ"כ פורמלי, מפני שאני זוכר שראיתי שימוש כזה באתריעקב יעקב - שיחה 12:24, 13 באפריל 2009 (IDT)

שתי דרכים אפשריות לפתרון הבעיה: הגדרת המהירות כנגזרת המרחק מההתחלה וקביעת המרחק לאחר x שניות כ-(f(x. מובן שאנו מחפשים מספר x שיקיים $\ f(x)=5$. מתנאי הבעיה נובע כי $\ f(x)+f'(x)=10$, וגם $\ f(0)=0$. נסיק כי פונקציה (g(x המוגדרת כ-$\ f(x)-10$ מקיימת $\ g'(x)=-g(x)$. נסיק כי $\ g(x)=ae^{-x}$, ומהנתון נסיק a=-10. כלומר, הפונקציה $\ f(x)=(-10)e^{-x}+10$. מכאן נסיק כי אם $\ f(x)=5$, מתקיים $\ 1/2=e^{-x}$, או $\ e^{x}=2$. לכן $\ x=ln(2)$.

עוד דרך אפשרית: נחלק את חמשת המטרים ל-n קטעים. מחישוב עולה כי הזמן שייקח לו לעבור את הקטע ה-1 נע בין $\ 1/2n$ ל-$\ 1/(2n-1)$, ובאופן דומה נסיק את מהירותו בקטע כללי. מכאן נסיק כי לכל n, ניתן לחסום את הערך של x בשתי סדרות, האחת $\ a_{n}=\sum _{k=n}^{2n-1}1/k$ (חסם עליון), והשנייה $\ b_{n}=\sum _{k=n+1}^{2n}1/k$ (חסם תחתון). נשים לב כי סדרת החסמים התחתונים עולה כאשר n עולה, וסדרת החסמים העליונים יורדת כאשר n עולה. נוסף על כך קל לראות שכאשר n שואף לאינסוף המרחק בין החסמים שואף ל-0. מהלמה של קנטור נסיק כי לשתי סדרות החסמים גבול משותף (השווה, מן הסתם, ל-x), ועל ידי חישוב ההפרשים בין $\ a_{n}$ ל-$\ a_{n+1}$ (או בין $\ b_{n}$ ל-$\ b_{n+1}$) נסיק כי גבול זה הוא $\ 1-1/2+1/3-1/4+1/5...=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}/k$. הסבר לדרך החישוב של טור זה ניתן, בין השאר, בערך טור (מתמטיקה), והוא שווה ל-$\ ln(2)$. אמיר3 - שיחה 14:31, 13 באוגוסט 2009 (IDT)