שיחת פורטל:מתמטיקה/חידה/75

התשובה היא 0.25, וזאת אפשר להראות בצורה פשוטה ע"י הוכחת שקילות בין שלילת הבעיה הקודמת לבעיה הזו.יעקב יעקב - שיחה 01:34, 30 במאי 2010 (IDT)

אפשר גם באינטגרציה:

נסמן את החלק שמקצה הנקודה ה"ראשונה" שבה נשבר המקל ועד לקצה הקרוב של המקל (החלק הקטן יותר- החצי של המקל בו נמצא השבר): X. על מנת שמשלושת השברים ניתן יהיה לבנות מושלש על השבר ה"שני" להיות באיזור שאורכו $X$ שתחילתו באמצע המקל וסופו בנקודה מסויימת על החצי הנגדי. (כך המרחק בין השבר הראשון לשני קטן מחצי: $(L/2-X)+(a)$ כאשר $a<X$, אך השבר השני בחצי אחר כך שסכום אורכם גדול מ ${\frac {L}{2}}$). ההסתברות שהשבר השני אכן יהיה באיזור זה הינה לפיכך: ${\frac {X}{L}}$. ההתברות למקרה שבו השבר הראשון מקצה אורך X על המקל הינה (וזה ה"טריק"):${\frac {dX}{L}}$ כאשר $dX$ הינה השינוי באורך X, ששואף ל0 ומהווה "נקודה" - "שבר". ההסתברות למצב כזה הינה אפוא: ${\frac {X\cdot {dx}}{L\cdot {L}}}=>{\frac {Xdx}{L^{2}}}$. ההסתברות הכוללת הינה פעמיים סכום ההתברויות למקרים השונים ("או") שכן ישנם כל המקרים האפשריים בשני החצאים של המקל:

$2\cdot \int _{0}^{1/2}{\frac {X}{L^{2}}}\,dx=2\cdot \int _{0}^{1/2}{\frac {X^{2}}{2L^{2}}}=\int _{0}^{1/2}{\frac {X^{2}}{L^{2}}}=({\frac {1}{4}}-0)={\frac {1}{4}}$.

אלון