צמצום (תורת החוגים)

בתורת החוגים, צמצום הוא התכונה המאפשרת לצמצם מודול, כלומר להסיק מאיזומורפיזם $A\oplus B\cong A\oplus B'$ את האיזומורפיזם $B\cong B'$. צמצום עשוי להתקיים או שלא להתקיים בקטגוריה נתונה של מודולים.

צמצום ותכונות אחרות

שאלת הצמצום עשויה להתייחס לקטגוריה של מודולים, אבל גם למודול מסוים בתוכה. לצד הצמצום, אפשר ללמוד כמה תכונות אפשריות.

• מודול $A$ מקיים את תכונת ההצבה אם לכל שני מחוברים ישרים $B,C$ של מודול, שהמשלים של שניהם איזומורפי ל-$A$, יש משלים משותף (היינו, אם $M=A'\oplus B=A''\oplus C$ ו-$A',A''\cong A$, אז יש תת-מודול $A_{0}\leq M$ כך ש-$M=A_{0}\oplus B=A_{0}\oplus C$).
• מודול $A$ מקיים את תכונת הצמצום, אם אפשר לצמצם אותו בכל איזומורפיזם של מודולים (כלומר אם $A\oplus B\cong A\oplus B'$ אז $B\cong B'$).
• מודול $A$ מקיים את תכונת הצמצום הפנימי אם בכל זוג פירוקים שלו $A=N\oplus K=N'\oplus K'$ שבו $N\cong N'$, גם $K\cong K'$.
• מודול $A$ הוא סופי-דדקינד אם לא ייתכן ש-$A\cong A\oplus X$ אלא אם $X=0$. (תכונה זו נקראת כך על-פי ההגדרה של דדקינד לקבוצה סופית).

התכונות המנויות לעיל מסודרות באופן היררכי: מתכונת ההצבה נובע צמצום; מצמצום נובע צמצום פנימי; ומצמצום פנימי נובעת סופיות-דדקינד.

תכונות הצמצום וההצבה עוברות למחוברים ישרים ולסכומים ישרים סופיים (כלומר, סכום ישר סופי הוא בעל תכונות אלה אם ורק אם כל המחוברים מקיימים אותן).

תכונות ההצבה והצמצום הפנימי, וכן סופיות-דדקינד, תלויות רק בחוג האנדומורפיזמים של המודול: מודול $M$ מקיים את תכונת ההצבה אם ורק אם הטווח היציב של חוג האנדומורפיזמים הוא 1. מודול מקיים את תכונת הצמצום הפנימי אם ורק אם חוג האנדומורפיזם שלו מקיים אותה כמודול מעל עצמו. מודול הוא סופי-דדקינד אם ורק אם חוג האנדומורפיזמים שלו הוא סופי-דדקינד (אם $ab=1$ אז $ba=1$).

ארבע התכונות מתלכדות עבור מודולים אינג'קטיביים (ואף לכל מודול קוואזי-אינג'קטיבי). שלוש התכונות הראשונות מתלכדות אם המודול מקיים את תכונת ההחלפה הסופית.

תכונת ההצבה

כל מודול פשוט (ולכן כל סכום ישר של מספר סופי של מודולים פשוטים) הוא בעל תכונת ההצבה. מודול $M$ מקיים את תכונת ההצבה אם ורק אם הטווח היציב של חוג האנדומורפיזמים הוא 1. מכאן אפשר להסיק שמעל חוג בעל טווח יציב 1, כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית הוא בעל תכונת ההצבה. מודול אי-פריד המקיים את תכונת ההחלפה הסופית מקיים גם את תכונת ההצבה.

אם $R$ חוג קומוטטיבי נתרי מקומי למחצה, אז לכל מודול נוצר סופית מעליו יש תכונת ההצבה.

צמצום

לכל שני מודולים $B,C$, אם $P=B\oplus C\oplus B\oplus C\oplus \cdots$ אז $P\oplus B\cong P\oplus C$; וכמובן אי-אפשר לצמצם את $P$. דוגמה זו (המכונה "הטריק של איילנברג") מראה שתכונת הצמצום, אם היא מתקיימת, מוגבלת למודולים נוצרים סופית.

מעל תחום דדקינד, כל מודול נוצר סופית אפשר לצמצם. מאידך, יש תחומים קומוטטיביים בעלי ממד קרול 2 עם מודולים פרויקטיביים נוצרים סופית שאינם ניתנים לצמצום.

בחוג אידיאלים חופשיים, החוג ניתן לצמצום (כמודול מעל עצמו).

צמצום פנימי

חוג $R$ מקיים את תכונת הצמצום הפנימי כמודול מעל עצמו, אם ורק אם לכל שני אידפוטנטים $e,e'$, אם $Re\cong Re'$ (כמודולים) אז $R(1-e)\cong R(1-e')$ (תכונה זו סימטרית ביחס להחלפת ימין ושמאל). מודול $M$ שחוג האנדומורפיזמים שלו רגולרי פון-נוימן מקיים את תכונת הצמצום הפנימי, אם ורק אם חוג האנדומורפיזמים רגולרי ליחידות (ע"ש).

מקורות

• A Crash Course on Stable Range, Cancellation, Substitution and Exchange, T. Y. Lam.