משפטי סילו

משפטים מתמטיים בתורת החבורות
(הופנה מהדף תת-חבורת סילו)

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני p נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה .

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה של חייב לחלק את הסדר של . משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק של הסדר של שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר . משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת- מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרותעריכה

אם   הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית  , אז קיימת חזקה מקסימלית של   המחלקת את הסדר. כלומר   מחלק את סדר החבורה, אבל   אינו מחלק. לתת-חבורה של   שסדרה שווה ל-  קוראים חבורת p-סילו של  . הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של   שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל- .

לדוגמה, אם   אז תת-חבורה מסדר 3 היא חבורת 3-סילו של  , ותת-חבורה מסדר 8 היא חבורת 2-סילו של  .

ניסוח המשפטיםעריכה

נניח ש-  חבורה סופית וש-  היא חזקה מקסימלית של ראשוני   המחלקת את הסדר של  . נסמן ב-  את מספרן של חבורות p-סילו השונות של  . נציין מיד שאם   חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו.

משפט סילו הראשוןעריכה

לכל חבורה   קיימת חבורת p-סילו. (דהיינו  ).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת   המחלקת את הסדר של  , לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השניעריכה

כל חבורות p-סילו של   צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של  , שהיא חבורת p, מוכלת באיזושהי חבורת p-סילו של  .

מסקנה

חבורת p-סילו היא יחידה (כלומר  ) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של  .

מסקנה

  מחלק את הסדר של  . אם נסמן  , נובע מכך ש-  מחלק את  , שכן   לא מחלק את  , כפי שנובע ממשפט סילו השלישי.

הוכחה: דרך אחת היא לשים לב שמספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה   של   שווה לאינדקס של הנורמליזטור של   ב- , שהוא תת-חבורה המכילה את  . אבל הנורמליזטור מכיל את  , לכן האינדקס שלו מחלק את זה של  , וממילא הוא זר ל- .

דרך נוספת להסיק זאת היא מכך ש-  פועלת על קבוצת חבורות p-סילו שלה באמצעות הצמדה. כפי שנובע ממשפט סילו השני המסלול של חבורת  -סילו כלשהי   בפעולה זו הוא כל הקבוצה, ולכן גודלו של מסלול זה הוא  . כפי שנובע ממשפט מסלול מייצב, גודל מסלול מחלק את גודל החבורה הפועלת ולכן   מחלק את גודל  .

משפט סילו השלישיעריכה

מספרן של חבורות p-סילו של   שקול לאחת מודולו  . כלומר  .

דוגמהעריכה

נראה שלכל חבורה   מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית.  , ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו-7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל-1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן   איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו-90 מסדר 7. ביחד יותר מ-105, וזה בלתי אפשרי.

הוכחותעריכה

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של  . ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של   על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב-  את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל   של  . מכיוון ש-  , קל לחשב ש-  אינו מחלק את העוצמה של  . החבורה פועלת על   על ידי כפל משמאל:  .

מכיוון שהגודל של   אינו מתחלק ב- , מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של  , שגודלו אינו מתחלק ב- . תהי   נקודה באותו מסלול; נבחר  , אז גם   היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של  . לכן אפשר להניח ש-  . מצד אחד, המייצב של   מוכל ב-  (שהרי  ), ולכן גודלו   לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את  , אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל-  ומחלק את  . יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- , ואם כך הוא שווה ל- ; אבל אז   היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב-  את אוסף חבורות p-סילו של  ; המשפט הראשון טוען ש-  אינה ריקה. החבורה   פועלת על   לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה   של   סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-1 מודולו p. הוכחה. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם   שתיהן חבורות p-סילו, אז   אינה תת-חבורה של   (אחרת סדרה היה שווה ל-  , וזו חזקת-  גדולה מדי). מכאן יוצא ש-  אינה יכולה לנרמל את   (אחרת   היא תת-חבורה).

כעת תהי   חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של  , גם   פועלת על   בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על  . גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של  , ולכן הם כולם חזקות של  . יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב- . אם   היא נקודה יחידה במסלול, אז   מנרמלת את  , וזה בלתי אפשרי - אלא אם  . כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את   בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב- , ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של  ) שקול ל-1 מודולו  .

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור   בטענה.

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו  . אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.

קישורים חיצונייםעריכה