תת-מודול גדול

בתורת המודולים, תת-מודול גדול (an essential submodule) של מודול נתון הוא מודול החותך באופן לא טריוויאלי כל תת-מודול אחר. במקרה זה, המודול נקרא הרחבה גדולה של תת-המודול. המודול הוא בעל משלימים עקרונית אם לכל תת-מודול מתאים תת-מודול נוסף (המכונה משלים עקרונית) כך שסכומם הישר הוא מודול גדול. מודולים גדולים מהווים כלי באפיון מודולים פשוטים למחצה.

יהי $M$ מודול מעל חוג $R$. תת-מודול $N\leq M$ נקרא גדול אם $\forall N'\leq M:N\cup N\neq \{0\}$. מסמנים זאת לרוב על ידי $N\leq _{\ell }M$.

אידיאל (שמאלי) גדול הוא אידיאל המהווה תת-מודול גדול כאשר מתייחסים לחוג כמודול (שמאלי) מעל עצמו.

מודול נקרא בעל משלימים אם לכל תת-מודול $N\leq M$ קיים תת-מודול $N'\leq M$ כך שסכומם הישר $N\oplus N'$ שווה לכל המודול; המודול נקרא בעל משלימים עקרונית אם הסכום הזה הוא מודול גדול. המשפט החשוב בנושא קובע כי תמיד לכל תת-מודול יש משלים עקרונית, כלומר כל מודול הוא בעל משלימים עקרונית.

מודול הוא פשוט למחצה אם ורק אם אין לו מודולים גדולים אמתיים.

ראו גם

• מודול פשוט למחצה
• תשתית
• מודול אינג'קטיבי
• מודול צפוף