אם ורק אם

קשר לוגי

אם ורק אם (ראשי תיבות: אם"ם, iff) או "אימוּם" (בלשון חז"ל: אך ורק אם, או: תנאי כפול, וסימונו בלוגיקה פורמלית: , או ≡) בתחום הלוגיקה המתמטית הוא קַשָּׁר לוגי בין שתי טענות השקולות זו לזו במובן שכל אחת אמיתית כשהשנייה אמיתית, אך אם אחת אינה אמיתית גם השנייה שגויה. בניסוח של הלוגיקה הפורמלית זהו קשר של תנאי הכרחי ומספיק.

לדוגמה: תקנות התנועה קובעות שעל הַרַכֶּבֶת להתקדם ולעבור אם, ורק אם הרמזור ירוק:

  • אם הרמזור ירוק יש לעבור ולא לעצור.
  • יש לעבור רק כשהרמזור ירוק, ולא כשהוא אדום (או אינו פועל).

ומנגד:

  • אם הרמזור אינו ירוק - אין לעבור ויש לעצור.
  • רק כאשר הרמזור אינו ירוק - אין לעבור. אילו היה ירוק, ההוראה הייתה אחרת: שיש לעבור.

באופן פורמלי זהו קשר בינארי (כלומר פעולה בעלת שני מרכיבים קובעים, או פונקציה בעלת שני ארגומנטים) בין שני פסוקים לוגיים, לפי טבלת האמת שלהלן. סימונו הוא ⇔ (יש המסמנים ↔ או ≡).

טבלת אמת:

שקר שקר אמת
שקר אמת שקר
אמת שקר שקר
אמת אמת אמת

בכתיבת תנאים פורמליים במתמטיקה קשר זה מביע התניה הדדית מלאה, כך שאם תנאי אחד מתקיים, בהכרח גם השני מתקיים, ואם השני מתקיים כך גם הראשון, ובאותה המידה אם תנאי אחד אינו מתקיים, גם השני בהכרח אינו מתקיים, ואם התנאי השני אינו מתקיים כך גם הראשון אינו.

ובניסוח פורמלי: תנאי A הוא "הכרחי ומספיק" עבור תנאי B, כאשר יש ביניהם קשר של אם ורק אם. (הכרחי - אם A לא מתקיים הרי שגם B לא מתקיים. מספיק - אם A מתקיים הרי שגם B מתקיים).

לדוגמה: נפוליאון רצה להתקיף את יפו מהיבשה, כאשר אוניותיו ירעישו בתותחים מן הים. אך ההרעשה לא קרתה. במשפט רב החובל טען שיש לו עשרה תירוצים מדוע לא ירה. "ראשית, לא הייתה לנו תחמושת." אמר. מספיק! קרא נפוליאון.

(ד) הרעשת תותחים. תלויה בכך שיש: (א) תחמושת, (ב) טווח ירי, (ג) תותחן בריא.
תנאים הכרחיים: כדי שהאוניה תרעיש בתותחיה את יפו, צריך תחמושת, צריך טווח ירי, וצריך תותחן בריא. בלי אחד מאלה אין הרעשה.
אבל כל אחד לעצמו אינו מספיק. צריך את שלושלתם.
תנאים מספיקים: כדי שתתקיים הרעשת התותחים, מספיק שאחת משתי האוניות, (א) הסאן-מרי-לה-פן או (ב) לה-פו-א-גרה, תירה מתותחיה. אין צורך בשתיהן.
אם אחת האוניות תירה, תהיה זו הרעשת התותחים הדרושה. איך אין זה הכרחי שדווקא (א) תירה, או שדווקא (ב) תירה.
כל אחת מהן מספיקה. אך לא כל אחת מהן הכרחית.
תנאי הכרחי ומספיק: כשיש טווח ותחמושת, עדיין כדי שתהיה הרעשה צריך תותחן בריא. יש את א. פרנסואז (חולה בקדחת) ב. ז'ורז'-פייר (חולה בשחפת) ג. מריאן (מקיאה את הנשמה)
מספיק אחד מהם בריא - כדי שתהיה ההרעשה. למשל, אם ז'ורז' פייר בריא - יירו בתותח.
הכרחי אחד מהם בריא - אם לא יהיה תותחן בריא, וכל התותחנים חולים - לא יירו בתותח.
אמ"ם: תהיה הרעשה אך ורק אם יהיה תותחן בריא.

מאפייניםעריכה

הקשר 'אם ורק אם' הוא חלופי - קומוטטיבי וקיבוצי - אסוציאטיבי.

חילופיות - קומוטטיביות: הטענה   שקולה לטענה  .
קיבוציות - אסוציאטיביות:   אם ורק אם  .

דרכי הוכחהעריכה

הוכחה בדרך אם-אזעריכה

בדרך ההוכחות המתמטיות ניתן להוכיח את הטענה "A אם ורק אם B", בעזרת צורת הוכחות אם-אז של שני המשפטים הבאים:

  • אם A אז B
  • אם B אז A

הוכחה בדרך או-וגםעריכה

שיטה נוספת להוכיח משפט מסוג זה היא להראות שהפסוק ((A וגם B) או (לא A וגם לא B)) מתקיים.

ובניסוח פורמלי:

 .

מקום הכמת - מקור לשגיאה נפוצהעריכה

חוסר תשומת לב למקומם של הכמתים היא בין השגיאות הלוגיות השכיחות בעת הוכחה פורמלית. למשל, אם הטענה A תלויה במשתנה חופשי x, והטענה B אינה תלויה במשתנים, אז הטענה:

B מתקיים אם ורק אם לכל x מתקיים (A(x

שונה בתכלית מן הטענה:

לכל x,‏ B מתקיים אם ורק אם (A(x.

אם B נכון, אז בשני המקרים לכל x גם (A(x נכון.

אך אם B אינו נכון, אזי הטענה הראשונה קובעת שקיים x כלשהו שעבורו (A(x אינו מתקיים אך שמא קיים x שעבורו A(x) אכן מתקיים, ואילו לפי הטענה השנייה (A(x אינו מתקיים לכל x שהוא.

דוגמאות נוספותעריכה

דוגמאות נוספות למשפטי "אם ורק אם" מתחומים מתמטיים שונים הם:

  • a גדול ממש מ־b אם ורק אם a לא שווה b וגם a לא קטן ממש מ־b.
  • אדם א' לחץ יד לאדם ב' אם ורק אם אדם ב' לחץ יד לאדם א', שהרי לחיצת ידיים היא פעולה הדדית: אי אפשר ללחוץ יד באופן חד־צדדי.
  • משולש הוא משולש ישר-זווית אם ורק אם סכום שטחי הריבועים שעל שתיים מצלעותיו שווה לשטח ריבוע שעל הצלע השלישית. (משפט פיתגורס)
  • גרף בלתי־מכוון הוא עץ אם ורק אם הוא קשיר וחסר־מעגלים אם ורק אם הוא קשיר מינימלי (הסרת קשת כלשהי מהגרף תבטל את קשירותו) אם ורק אם הוא חסר־מעגלים מקסימלי (הוספה של קשת כלשהי לגרף תיצור מעגל). זוהי שרשרת של טענות.

תנאי הכרחי ומספיק - הרחבהעריכה

במקום להשתמש בביטוי "אם ורק אם", משתמשים לעיתים בביטוי שמשמעותו שקולה "תנאי הכרחי ומספיק". המשפט "a גדול ממש מ-b אם ורק אם a לא שווה b וגם a לא קטן ממש מ־b" שקול למשפט "תנאי הכרחי ומספיק לכך ש-a גדול ממש מ-b הוא ש-a לא שווה b וגם a לא קטן ממש מ־b". אם נפרק את שני הביטויים למרכיביהם הרי המילה "אם" שקולה ל"תנאי מספיק", והמילים "רק אם" שקולות ל"תנאי הכרחי".

דוגמה להצגה לא-מתמטית של תנאי הכרחי ומספיק מופיעה בדיון התלמודי בשמיטת קרקעות ושמיטת כספים, שבו נאמר:

בזמן שאתה משמט קרקע - אתה משמט כספים,
ובזמן שאי אתה משמט קרקע - אי אתה משמט כספים (תלמוד בבלי, מסכת מועד קטן, דף ב', עמוד ב')

המחצית הראשונה של המשפט מציגה תנאי מספיק לשמיטת כספים, והוא שמיטת קרקע. המחצית השנייה של המשפט קובעת שזהו גם תנאי הכרחי.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה