cis

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

cis הוא סימון מתמטי שהגדרתו $\ cis(x)=\cos(x)+i\sin(x)$, כאשר $\ \cos$הוא הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס, $\ \sin$הוא הפונקציה הטריגונומטרית סינוס ו־$\ i$ הוא היחידה המדומה. בהתאם לנוסחת אוילר $\ cis(x)=e^{ix}$.

את הסימון cis טבע בשנת 1866 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון בספרו "Elements of Quaternions" שפורסם לאחר מותו. הסימון משמש כקיצור נוח המפשט הצגה של ביטויים מסוימים, למשל בטרנספורמציית פורייה. דוגמה: נוח יותר לכתוב ולהבין את הביטוי cis(x²) מאשר לכתוב ולהבין את הביטוי e^ix2.

בספריות תוכנה מתמטית, כגון Math Kernel Library של אינטל, נכלל מימוש של פונקציה זו בשפות תכנות נפוצות.

זהויות מתמטיות

נגזרת:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}$

אינטגרל:

$\int \operatorname {cis} (z)\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}$

תכונות נוספות:

הזהויות הבאות נובעות ישירות מנוסחת אוילר:

$\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)$

$\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}$

זהויות אלה מתקיימות כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים. כאשר x ו-y הם מספרים ממשיים, מתקיים גם:

$|\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|.$

מספרים מרוכבים

את המספר המרוכב $z=x+iy$ ניתן להציג בהצגה קוטבית כ- $\ z=r(cis\theta )$, כאשר $\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ הוא המרחק של הנקודה $z$ מראשית הצירים, והזווית $\ \theta$, שבין הישר המחבר את הנקודה $z$ לראשית הצירים ובין ציר ה-$x$, ניתנת בנוסחה $\ \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$.

פעולות כפל וחילוק של מספרים מרוכבים נעשות פשוטות יותר בהצגה פולרית. בהתבסס על הזהויות הטריגונומטריות

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

$\sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)$

כאשר נתונים המספרים המרוכבים $z_{1}=r_{1}\operatorname {cis} \varphi _{1}$, $z_{2}=r_{2}\operatorname {cis} \varphi _{2}$ מתקיים

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\operatorname {cis} (\varphi _{1}+\varphi _{2})$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\operatorname {cis} (\varphi _{1}-\varphi _{2})$

ראו גם

• משפט דה מואבר

קישורים חיצוניים

• Cis, באתר MathWorld (באנגלית)