משתמש:Amitayzl/סדרת קושי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, סדרת קושי היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים: לכל מרחק חיובי $\varepsilon$, יש מקום בסדרה שממנו והלאה המרחק בין כל שני אברים קטן מ-$\varepsilon$. תנאי זה מכונה לעתים גם "קריטריון קושי". סדרות אלה קרויות על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי.

הגדרה פורמלית: יהי X מרחב מטרי (כלומר: קבוצה עם מטריקה d עליה), ותהי $\ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה שאיבריה במרחב זה. אזי אם לכל $\ \varepsilon >0$ קיים N כך שלכל $\ n,m>N$ מתקיים $\ d(a_{n},a_{m})<\varepsilon$ אזי הסדרה נקראת סדרת קושי.

אפשר לטפל בסדרות קושי של מספרים (רציונליים או ממשיים), ובאופן כללי יותר בסדרות של אברים בכל מרחב מטרי. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. הכיוון ההפוך תלוי בתכונות של המרחב: מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא מרחב שלם. שדה המספרים הממשיים הוא השדה השלם המינימלי, ואכן, כל סדרת קושי של מספרים ממשיים - מתכנסת (זה נכון גם עבור סדרת קושי של מספרים מרוכבים, כלומר גם שדה המספרים המרוכבים הוא שלם).

היסטוריה

ערך מורחב – היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי

את יסודות החשבון האינפיניטסימלי המודרני, שסדרת קושי היא אחד ממושגיו הבסיסיים ביותר, הניחו ניוטון ולייבניץ (כל אחד בנפרד) לצרכים מדעיים מעשיים כבר במאה ה-17, אולם לא סיפקו לו הצדקות פורמאליות מניחות את הדעת. אחד המושגים שנדרשה הקהילה המתמטית להגדיר באופן מדויק לצורך ביסוס תחום החשבון האינפיניטסימלי הוא המושג של "התכנסות סדרה לגבול סופי".

סדרות ממשיות

ערך מורחב – סדרה מתכנסת

סדרה ממשית $\ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ היא סדרה אינסופית שכל אחד מאיבריה הוא מספר ממשי. סדרה כזו מוגדרת כסדרת קושי אם ההפרש בין כל שני איברים בסדרה קטן בערכו המוחלט כרצוננו, החל ממקום מסוים. כלומר, אם היא מקיימת את הדרישה הבאה: $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :\quad \forall n,m>N\quad .\quad |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$ . (וקל לראות כי החלפת האי-שוויון החזק באי-שוויון חלש תיתן הגדרה שקולה).

סדרה ממשית מתכנסת לגבול סופי (כלומר מתכנסת "במובן המצומצם") אם ורק אם היא סדרת קושי.

הוכחה

• תהי $\ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת לגבול סופי $\mathbb {R} \ni l$. נוכיח כי היא מקיימת את קריטריון קושי:

יהי $\ \varepsilon >0$. לפי הגדרת הגבול, $\exists N\in \mathbb {N} :\quad \forall n>N.\quad |a_{n}-l|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. כעת, יהיו $\ n,m>N$, ונרצה להראות כי $\quad |a_{n}-a_{m}|\leq \varepsilon$. אכן, $|a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-l+l-a_{m}|\leq |a_{n}-l|+|l-a_{m}|=|a_{n}-l|+|a_{m}-l|={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$ (אחד מהמעברים מוצדק לפי אי שוויון המשולש).

• תהי $\ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת קושי. נוכיח כי היא מתכנסת לגבול סופי:

סדרות של פונקציות

ערך מורחב – סדרת פונקציות

סדרת פונקציות $\ \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$ היא סדרה אינסופית שכל אחד מאיבריה הוא פונקציה $f_{n}:I\longrightarrow \mathbb {R}$ ׁ(עבור $I\subseteq \mathbb {R}$ זהה לכל הפונקציות בסדרה). סדרת פונקציות מוגדרת כסדרת קושי אם היא מקיימת כי: $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :\quad \forall n,m>N\quad \forall x\in I.\quad |f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon$.

סדרת פונקציות היא סדרת קושי אם ורק אם היא מתכנסת במידה שווה.

הוכחה

• תהי $\ \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת פונצקיות כך ש- $\forall n.\,f_{n}:I\longrightarrow \mathbb {R}$ ובנוסף $f_{n}{\overset {u}{\longrightarrow }}f$ (כלומר הסדרה מתכנסת במ"ש ל-f). נוכיח כי היא מקיימת את קריטריון קושי:

יהי $\ \varepsilon >0$. לפי הגדרת ההתכנסות במ"ש, קיים $\ N$ טבעי כך שלכל $\ x\in I$ ולכל $\ n>N$ מתקיים $\ |f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. כעת, יהיו $\ n,m>N$. נרצה להראות כי $\quad |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq \varepsilon$, ואכן: $\quad |f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|f_{n}(x)-f+f-f_{m}(x)|\leq |f_{n}(x)-f|+|f_{m}(x)-f|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

• תהי $\ \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$ סדרת פונקציות כך ש- $\forall n.\,f_{n}:I\longrightarrow \mathbb {R}$ המקיימת את קריטריון קושי. נניח בשלילה כי אינה מתכנסת במ"ש לאף פונקציה, כלומר כי $\forall f\,\,\exists \epsilon >0:\,\forall N.\,\exists x\in I,n>N:\,|f_{n}(x)-f(x)|>\epsilon$. בפרט, הנחה זו מתקיימת עבור $f=f_{m}$, כלומר $\exists \epsilon >0:\,\forall N.\,\exists x\in I,n>N:\,|f_{n}(x)-f_{m}(x)|>\epsilon$, ופסוק זה הוא בדיוק השלילה הלוגית של קריטריון קושי שהוגדר לעיל.

הכללה למרחב מטרי

הדמיון בין ההוכחות לגרסאות השונות של משפט קושי בתתי הפרקים שלעיל אינו מקרי, אלא נובע מתכונות מסוימות של המרחבים שמהם נלקחו איברי הסדרות (כלומר מרחב המספרים הממשיים, מרחב הפונקציות הממשיות ומרחב ה-nיות), דוגמת התקיימותו של אי שוויון המשולש. תכונות אלה שאפשרו את ההוכחה הן למעשה בדיוק התכונות של מרחב מטרי, ואמנם ניתן להוכיח כי משפט קושי תקף בכל מרחב מטרי ובמרחבים מטריים בלבד.

שימושים

ניתן להשתמש במשפט קושי כדי להוכיח כי:

• סדרה נתונה מתכנסת מעל מרחב מטרי נתון - ע"י הוכחה שהיא סדרת קושי מעל מרחב זה
• סדרה נתונה אינה מתכנסת מעל מרחב מטרי נתון - ע"י הוכחה שאין היא סדרת קושי מעל מרחב זה
• מרחב נתון אינו מרחב מטרי - ע"י הצגת סדרה המתכנסת מעל מרחב זה אף שאינה סדרת קושי
• מרחב מטרי נתון אינו שלם - ע"י הצגת סדרת קושי המתכנסת מעל מרחב זה

ראוי לציין כי קריטריון קושי אינו כולל את גבול הסדרה. לכן, ניתן להשתמש בו כדי להוכיח שסדרה נתונה מתכנסת, אך לא כדי למצוא את הגבול. מצד שני, בשל כך ניתן להיעזר בו כדי להוכיח התכנסות בלי לדעת מראש מה הגבול, בניגוד למשל להוכחת התכנסות לפי ההגדרה של סדרה מתכנסת, שדורשת לנחש את הגבול מראש.

ראו גם

• אוגוסטן לואי קושי
• מרחב מטרי שלם

קישורים חיצוניים

• דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי, באתר Math-Wiki

הערות שולים

[[קטגוריה:סדרות מתמטיות]] [[קטגוריה:מרחבים מטריים]]