אבולוט

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור $\gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2}$ בפרמטריזציה טבעית, אֵבוֹלוּט (באנגלית: Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה.

אבולוט של אליפסה הוא אסטרואידה מתוחה בציר המשני של האליפסה

נוסחת האבולוט היא:

${\vec {E}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+R(s){\vec {n}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+{\frac {1}{k(s)}}{\vec {n}}(s)$

כאשר

• k היא העקמומיות של העקומה $\gamma$ (המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך $\ {\frac {d{\vec {v}}}{ds}}={\vec {v}}'(s)=k(s){\vec {n}}(s)$, או בנוסחה מפורשת $\ k(s)=\langle {\vec {\gamma }}''(s),{\vec {n}}(s)\rangle$)
• $\ R(s)={\frac {1}{k(s)}}$ הוא רדיוס העקמומיות
• ${\vec {n}}(s)$ הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה ${\vec {v}}(s)={\vec {\gamma }}'(s)$ ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לתאר את האבולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה

$\ (\tau ,s)\longmapsto {\vec {F}}(\tau ,s)={\vec {\gamma }}(s)+\tau {\vec {n}}(s)$.

במקום זה, המתקבל עבור $\ \tau =1/k(s)$, הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן $\ (\tau ,s)$ לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע שהאבולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.^{[דרושה הבהרה]}

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: $\ k(s),k'(s)\neq 0$) על האבולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:

$\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}|E'(s)|ds=\int _{s_{1}}^{s_{2}}\left|\left({\frac {d}{ds}}R'(s)\right){\vec {n}}(s)\right|ds=\int _{s_{1}}^{s_{2}}|R'(s)|ds=\left|\int _{s_{1}}^{s_{2}}R'(s)ds\right|=\left|R(s_{2})-R(s_{1})\right|$

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-

$\ {\vec {E}}'(s)=\gamma '(s)+R'(s){\vec {n}}(s)+R(s){\vec {n}}'(s)={\vec {v}}(s)+R'(s){\vec {n}}(s)-R(s)k(s){\vec {v}}(s)=R'(s){\vec {n}}(s)$

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באבולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

קישורים חיצוניים

• אבולוט, באתר MathWorld (באנגלית)
• אבולוט, ב-MathWorld של אריק ויינשטיין
• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• Evolute on 2d curves.