אינטגרל לא אמיתי

בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא אמיתי (או אינטגרל מוכלל) מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באופן אינטואיטיבי, ברור ששטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, האינטגרל מתכנס. אחרת, האינטגרל מתבדר.

אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית
אינטגרל מוכלל של פונקציה לא חסומה

כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.

אינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות לא חסומותעריכה

ניסוח פורמליעריכה

תהא   פונקציה המוגדרת בקטע   ובלתי חסומה שם. אם   אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע   ואם קיים הגבול  , אז נאמר כי   אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע   והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של   בקטע   וסימונו יהיה  . כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה: יהי  . חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי   מתכנס אם ורק אם  .

אינטגרביליות בהחלטעריכה

תהא   פונקציה המוגדרת בקטע   ובלתי חסומה שם. אם   אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע   ואם האינטגרל   מתכנס, אז נאמר ש-  אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל   מתכנס בהחלט. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אנטגרבילית. (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרהעריכה

תהא   פונקציה המוגדרת בקטע  . אם   אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע   ואם קיים   כך שהאינטגרלים  ,  מתכנסים, נאמר ש-  אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע  .

באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.

מבחני התכנסותעריכה

מבחן קושיעריכה

תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:

תהא   פונקציה המוגדרת בקטע   בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע  . אז   מתכנס אם ורק אם לכל   קיים   כך שלכל   ממשיים בקטע   מתקיים:

 

מבחן ההשוואהעריכה

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:

תהיינה   פונקציות המוגדרת בקטע   ובלתי חסומות שם. אם   אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע   ואם קיימת סביבה שמאלית של   שבה מתקיים   אז:

  • אם   מתכנס אז גם   מתכנס.
  • אם   מתבדר אז גם   מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבוליעריכה

תהיינה   פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע   ובלתי חסומות שם. אם   אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע   ואם קיים הגבול   והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים   ו-   מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

  • אם   מתכנס אז גם   מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

  • אם   מתבדר אז גם   מתבדר.

אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים אינסופייםעריכה

ניסוח פורמליעריכה

תהא   פונקציה המוגדרת בקטע  , ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל. אז אם קיים הגבול  , אז נאמר כי   אינטגרבילית בקטע   והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של   בקטע   וסימונו יהיה  . כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה:

האינטגרל   מתכנס, שכן  .

אינטגרביליות בהחלטעריכה

תהא   פונקציה המוגדרת בקטע  . אם   אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל   מתכנס, אז נאמר ש-  אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל   מתכנס בהחלט. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרהעריכה

תהי   פונקציה המוגדרת ב-  ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים   ממשי כך שהאינטגרלים  ,   מתכנסים, נאמר ש-  אינטגרבילית ב- .

מבחני התכנסותעריכה

מבחן קושיעריכה

תהא   פונקציה המוגדרת בקטע   בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע  . אז   מתכנס אם ורק אם לכל   קיים   כך שלכל   ממשיים מתקיים:

 

מבחן ההשוואהעריכה

תהיינה   פונקציות המוגדרת בקטע   ובלתי חסומות שם. אם   אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע   ואם קיים   כל שלכל   מתקיים   אז:

  • אם   מתכנס אז גם   מתכנס.
  • אם   מתבדר אז גם   מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבוליעריכה

תהיינה   פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע  . אם קיים הגבול   והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים   ו-   מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

  • אם   מתכנס אז גם   מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

  • אם   מתבדר אז גם   מתבדר.

מבחן דיריכלהעריכה

מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו.

תהיינה   פונקציות בקטע  . אם מתקיים:

  •   מונוטונית בקטע  .
  •  .
  •   אינטגרבילית בקטע  .
  • הפונקציה   חסומה בקטע  .

בתנאים אלו האינטגרל   מתכנס.

מבחן אבלעריכה

מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דריכלה.

תהיינה   פונקציות בקטע  . אם מתקיים:

  •   מונוטונית בקטע  .
  •   כאשר   קיים וסופי.
  •   אינטגרבילית בקטע   ו-  מתכנס.

בתנאים אלו האינטגרל   מתכנס.

הוכחה למבחן אבלעריכה

ע"פ הנתונים נקבל כי:

 

כעת כפי שניתן לראות,   מתכנס ע"פ מבחן דריכלה ו-  מתכנס ע"פ הגדרה.


קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא אינטגרל לא אמיתי בוויקישיתוף