אלסטיות ליניארית

גמישות ליניארית היא מודל מתמטי של האופן שבו עצמים מוצקים מתעוותים וחווים מאמצים פנימיים עקב תנאי עמיסה שנקבעו. זהו פישוט של התיאוריה הלא ליניארית הכללית יותר של אלסטיות וענף של מכניקת הרצף.

הנחות היסוד שמאפשרות לפתח תורה ליניארית לאלסטיות הן: מעוות אינפיניטימלי או עיוותים (או מעוותים) "קטנים" ויחסים ליניאריים בין מרכיבי המאמץ והמעוות. בנוסף, אלסטיות ליניארית תקפה רק למצבי מאמץ שאינם מייצרים כניעה.

הנחות אלו סבירות עבור חומרים הנדסיים רבים ותרחישי תכנון הנדסי. לכן נעשה שימוש נרחב באלסטיות ליניארית בניתוח מבני ובתכנון הנדסי, לעיתים קרובות בעזרת ניתוח אלמנטים סופיים.

ניסוח מתמטי

המשוואות המתארות את בעיית תנאי שפה אלסטי ליניארי מבוססות על שלוש משוואות טנזוריות דיפרנציאליות חלקיות עבור איזון התנע ליניארי ושישה יחסי מעוות אינפיניטסימליות-העתק. מערכת המשוואות הדיפרנציאליות מושלמות על ידי אוסף של יחסים מכוננים אלגבריים ליניאריים.

ניסוח טנזורי

בצורה טנזורית, שאינה תלויה בבחירת מערכת הקואורדינטות, המשוואות השולטות אלה הן:

• משוואת תנועה, שהיא ביטוי לחוק השני של ניוטון:

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$$

• משוואות מעוות-העתק:

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$$

• משוואות מכוננות. עבור חומרים אלסטיים, חוק הוק מייצג את התנהגות החומר ומקשר בין המאמצים ומעוותים הלא ידועים. המשוואה הכללית לחוק הוק היא
  $${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}$$

כאשר ${\boldsymbol {\sigma }}$ הוא טנזור המאמץ של קושי, ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ הוא טנזור המעוות האינפיניטסימלי, $\mathbf {u}$ הוא וקטור ההעתק, ${\mathsf {C}}$ הוא טנזור הקשיחות מסדר רביעי, $\mathbf {F}$ הוא סך הכוחות הפנימיים ליחידת נפח, $\rho$ היא צפיפות המסה, ${\boldsymbol {\nabla }}$ מייצג את האופרטור nabla, $(\bullet )^{\mathrm {T} }$ מייצג שחלוף, ${\ddot {(\bullet )}}$ מייצגת את הנגזרת השנייה בזמן, ו- ${\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}$ הוא המכפלה הפנימית של שני טנזורים מסדר שני (הסימון מותאם לסכימת איינשטיין).

הצגה במערכת קוא' קרטזית

תבנית:Einstein summation conventionהערה: בהמשך הקטע נעשה שימוש בסכימת איינשטיין.

כאשר מבטאים במונחי רכיבים במערכת קואורדינטות קרטזית (מלבנית), המשוואות המתארות אלסטיות ליניארית הן:

• משוואות תנועה: כאשר הסימון ${(\bullet )}_{,j}$ הוא קיצור של ${\frac {\partial (\bullet )}{\partial x_{j}}}$, ו-$\partial _{tt}$ מסמן ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$, $\sigma _{ij}$ הוא טנזור המאמץ של קושי (והוא סימטרי), $F_{i}$ הוא וקטור צפיפות הכוחות הפנימיים בגוף, $\rho$ היא צפיפות המסה, ו- $u_{i}$ הוא ההעתק. אלו הן 3 משוואות עצמאיות עם 6 נעלמים (מאמצים) בלתי תלויים. בניסוח הנדסי, הם:${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$
• משוואות מעוות-העתק:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})$ כאשר $\varepsilon$ הוא המעוות, והוא טנזור סימטרי. אלו הן שישה משוואות בלתי תלויות עבור המעוות וההעתק עם 9 נעלמים. בסימון הנדסי הם:

• משוואות מכוננות: המשוואה לחוק הוק היא:
  $$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$$