אקספוננט ליאפונוב

תקציר

מעריך (אקספוננט) ליאפונוב הוא גודל בסיסי בתיאוריה של מערכות דינמיות בתיאורית הכאוס, באפקט הפרפר בספרות של מדע פופולרי ובמתמטיקה. מעריך ליאפונוב חיובי מעיד על חוסר יציבות במערכת. במערכות עם מעריך ליאפפונוב חיובי לא ניתן, באופן פרקטי, לתת תחזית ארוכת טווח של התנועה למרות שמשואות התנועה חורצניות (דטרמיניסטיות). אי-יציבות ליאפונוב היא הסיבה העקרונית לכך שתחזית מזג האויר מוגבלת לטווח של שבועות לכל היותר. המעריך קרוי על שם אלכסנדר ליאפונוב, מתמטיקאי-פיזיקאי רוסי בן המאה התשע עשרה שערך מחקרים חלוצים בשאלת היציבות של מערכות דינמיות בתורת הכבידה, בנוזלים ובמערכות רבות אחרות.

דוגמאות

דוגמה אלמנטרית למערכת דינמית יציבה היא מתנד (אוסצילטור) הרמוני. הפתרון הכללי של משואות התנועה של מתנד חד-ממדי, עם תדירות יחידה, נתון בנוסחה

$x_{t}=A\cos t+B\sin t$

כאשר המקדמים $A,B$ נקבעים על ידי תנאי ההתחלה (מקום ומהירות). כיון שהפונקציות $\cos t,\,\sin t$ חסומות שינוי קטן בתנאי ההתחלה, מתרגם לשינוי קטן במקדמים $A,B$ ולכן גם לשינוי קטן במסלול החלקיק. במקרה זה מעריך ליאפונוב מתאפס (ראה נוסחה למטה).

דוגמה למערכת שאינה יציבה שעבורה מעריך ליאפונוב חיובי, היא התנועה בפוטננציאל הרמוני הפוך. הפתרון הכללי של משואות התנועה במקרה זה הוא

$x_{t}=A{\text{e}}^{t}+B{\text{e}}^{-t}$

הפונקציה ${\text{e}}^{t}$ מתבדרת בקצב מעריכי בזמנים חיוביים. שינוי קטן (ואקראי) בתנאי ההתחלה, גורר שינוי קטן במקדם $A$, שמתבטא בשינוי של $x_{t}$ שאינו חסום בעתיד. במקרה זה, מעריך ליאפונוב, המקדם של $t$ , הוא יחידה.

כאשר מעריך ליאפונוב חיובי, האפשרות לחזות את המסלול בזמנים ארוכים מותנית בדיוק אכפוננציאלי של תנאי ההתחלה.

דוגמה מתמטית חשובה אחרת של מסלולים שיש להם מעריך ליאפונוב חיובי, הם המסלולים הגיאודטים על משטח בעל עקומיות שלילית קבועה (נקרא גם הפסאודו-כדור).

הגדרה ותכונות בסיסיות

עבור מערכת דינמית כללית נסמן את המרחק בין שני מסלולים ב $d_{t}$ :

$d_{t}={\text{dist}}(\mathbf {x} _{1}(t),\mathbf {x} _{2}(t))$

אקספוננט ליאפונוב מאפיין את קצב ההתרחקות של שני מסלולים עם תנאי התחלה קרובים:

$d_{t}\approx e^{\lambda t}\,d_{0}$.

זו אינה הגדרה מתמטית מדויקת, אבל היא נותנת את רוח הדברים. וההגדרה המתמטית היא יותר מורכבת ונתונה בנוסחה

$\lambda =\displaystyle {{\limsup }_{t\to \infty ,d_{0}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {d_{t}}{d_{0}}}}$

במקרה הכללי, מעריך ליאפונוב, עשוי להיות תלוי בנקודת ההתחלה, ועשוי להיות תלוי בפרטים עדינים של תנאי ההתחלה. בדוגמה למעלה של תנועה בפוטנציאל הרמוני הפוך, שינוי כללי, שמשנה את שני המקדמים $A,B$ נותו מעריך ליאפונוב חיובי, $1$, אבל שינוי עדין של תנאי ההתחלה שמשנה רק את המקדם $B$ נותן מעריך ליאפונוב , שלילי, $-1$.

הוסחה שלמעלה נותנת את מקדם ליאפונוב הגדול ביותר, והוא תמיד אי-שלילי. למערכת דינמית בשלושה ממדים ניתן להגדיר שלושה מעריכי ליאפונוב בכל נקודה במרחב. מעריך ליאפונוב הגדול ביותר מתקבל בהסתברות יחידה אם בוחרים את הסטיה בתנאי ההתחלה באופו אקראי. אבל, עבור סטיות עדינות המוגבלות למשטח דו-ממדי דרך הנקודה הנתונה, נמצא, בדרך כלל, מעריך ליאפונוב קטן יותר. עבור סטיות עדינות יותר שמוגבלות עקומה חד ממדית, במשטח המיוחד, נמצא בגדך כלל מעריך ליאפונוב קטן עוד יותר. ןלכן המערכת מאופינת על ידי שלושה מעריכי ליאפונוב, שהגדול ביניהם הוא תמיד אי-שלילי.

מערכות בדידות

עבור מערכות זמן בדידות (כגון מפות) $x_{n+1}=f(x_{n})$ עבור מסלול המתחיל ב-$x_{0}$ האקספוננט המקסימלי מוגדר כך:

$\lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|$

קישורים חיצוניים

• אקספוננט ליאפונוב, באתר MathWorld (באנגלית)