פונקציית גאוס

פונקציית גאוס (באנגלית: Gaussian function; נקראת גם גאוסיאן) היא פונקציה מתמטית בעלת שימושים רבים במתמטיקה, פיזיקה ומדעי המחשב. פונקציה זו נקראת על שם קרל פרידריך גאוס. צורתה המתמטית היא:

התפלגות נורמלית היא מקרה פרטי של גאוסיאן.

$$f\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}$$

פונקציית הגאוסיאן מכונה בשם פונקציית הפעמון כפי שניתן להיווכח מצורתה הייחודית. בפונקציה, שמיוצגת לרוב על ידי שלושה פרמטרים, הפרמטר a מבטא את הגובה של הגאוסיאן, הפרמטר b מבטא את מיקום המרכז של הגאוסיאן, ו-c מבטא את רוחבו של הגאוסיאן.

הגאוסיאן משמש בהסתברות כפונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית, שם מקשרים בין הפרמטרים $a,c$ לבין הממוצע של המשתנה, וכן סטיית התקן שלו.

אינטגרל על גאוסיאן מבוצע באמצעות מעבר לקואורדינטות פולריות, שמפשט את האינטגרל באמצעות היעקוביאן ומקל על החישוב.

גם כאשר עוסקים בהילוך שיכור הגאוסיאן מופיע, וכן במקרה הרציף של הילוך שיכור - פתרון משוואת הדיפוזיה אשר שניהם מתארים תנועה אקראית.

החשיבות של הגאוסיאן, ומקור הופעתו בטבע, היא בחוק המספרים הגדולים - חוק מתמטי, אשר לפיו סכום של משתנים אקראיים רבים שאינם תלויים ישאף (באופן מסוים מאוד) לגאוסיאן. כך למשל מתקבל המופע של הגאוסיאן בהילוך שיכור.

הפונקציה מופיעה במקומות רבים, כגון ציוני מבחנים ותוצאות מבחני אינטליגנציה (IQ).

כאשר מתבוננים בשטח שמתחת לגאוסיאן בטווח עד סטיית תקן אחת מהממוצע, מתקבל שטח המהווה כ $68\%$ מתוך השטח שנמצא מתחת לגאוסיאן זה נובע מהחוק האמפירי . אם מדובר בגאוסיאן שמייצג התפלגות, אז המשמעות היא ש $68\%$ מהאוכלוסייה נמצאת בטווח $\mu \pm \varepsilon$. כך, למשל, ליותר ממחצית מהאוכלוסייה מנת משכל בין 85 לבין 115.

אינטגרציה על גאוסיאן

חישוב האינטגרל $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$ אינו טריוויאלי, כיוון שהפונקציה הקדומה של $e^{-x^{2}}$ אינה אלמנטרית (זוהי פונקציית השגיאה).

עם זאת, האינטגרל פתיר אנליטית במספר דרכים (מעבר לדו־מימד, התמרת לפלס, משפט השאריות על מסילה מרוכבת, ועוד). האינטגרל חיובי ומתכנס, ולכן אם נעלה את האינטגרל בריבוע, נוכל להעביר על ידי משפט פוביני את האינטגרל לדו־ממדי. נקבל $$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$$

במעבר לקואורדינטות פולריות, נקבל: $$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-r^{2}}\ rd\theta dr$$ כאשר ה-$r$ הנוסף מגיע מהיעקוביאן של קואורדינטות פולאריות. כעת הפונקציה הפנימית נראית כמו ${\frac {d}{dr}}{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}$. כלומר, נקבל $$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }r\cdot e^{-r^{2}}d\theta dr=-2\pi \cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left[e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty }=\pi$$ אך הביטוי ממנו התחלנו הוא $\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}$, לכן קיבלנו $$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$$

כיוון שהפונקציה זוגית, מתקיים גם: $\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$.

כעת, נתעניין בחישוב אינטגרל מסובך מעט יותר - $\int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-\left(x-b\right)^{2}/2c^{2}}\,dx$. על ידי ההצבה $x\mapsto x+b$ ניתן להיפטר מאחד הגורמים. כמו כן ה$a$ רק מוסיף פקטור מחוץ לאינטגרל. ההצבה הנוספת $x\mapsto {\frac {y}{{\sqrt {2}}c}},dy=dx\cdot {\sqrt {2}}c$ תתן אינטגרל מהצורה שכבר פתרנו, עם פקטור נוסף של ${\sqrt {2}}\cdot c$. סה"כ קיבלנו $\int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-\left(x-b\right)^{2}/2c^{2}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\left\vert c\right\vert \cdot a$.

קישורים חיצוניים

• פונקציית גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)