פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

(הופנה מהדף פונקציה זוגית)

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר (כלומר לציר ה-).

פונקציה זוגיתעריכה

הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר  .

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה- .

דוגמאות של פונקציות זוגיות:

פונקציה אי-זוגיתעריכה

הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר  .

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה-  (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של   סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:

פונקציה כלליתעריכה

ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית:  

וזאת כאשר:   ו  


יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:d
  ו  
או:
  ו  

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

תכונותעריכה

  • סכום פונקציות:
    • סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-  לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
    • סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-  לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
  • מכפלת פונקציות:
    • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
  • חלוקת פונקציות:
    • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה   היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.

  • הרכבת פונקציות:
    • הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
    • הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
    • הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
  • גזירת פונקציה:
    • נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
    • נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.

הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה  , היא הגבול  .

ניתן להגדיר את   כ-  ואת   כ- 

כעת נציב בגבול:  . נראה שאם נחליף את הסימן של   ושל   נקבל לפונקציה זוגית,   כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל,   כלומר שסימן הגבול נשמר.

  • אינטגרל של פונקציה:
    • כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
    • האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
    • האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
  • תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת בנקודה   חייבת לקיים  .

קישורים חיצונייםעריכה