פונקציה אנליטית

פונקציה אנליטית היא פונקציה שיש לה פיתוח לטור חזקות המתכנס אליה בסביבה כלשהי. בזכות מבחן השורש של קושי, גם הנגזרת של פונקציה אנליטית היא אנליטית, ולכן אפשר לגזור פונקציה כזו אינסוף פעמים.

ניתן להוכיח כי פונקציה מרוכבת היא הולומורפית אם ורק אם היא אנליטית מרוכבת. זהו הסוג החשוב ביותר של פונקציה אנליטית, עד כדי כך שלפעמים מחליפים בין המושגים. פונקציות אלה הן האובייקט המרכזי באנליזה מרוכבת.

באופן רחב יותר, תכונת האנליטיות יכולה לחול על כל פונקציה משדה מקומי לעצמו, ובפרט ישנן פונקציות אנליטיות ממשיות. לטור החזקות המייצג פונקציה אנליטית ממשית (או מרוכבת) יש רדיוס התכנסות גדול מאפס.

הגדרה

תהי $f$ פונקציה ממשית או מרוכבת. נאמר ש-$f$ אנליטית בנקודה $x_{0}$ אם $f$ מוגדרת בסביבה של $x_{0}$, וניתנת לפיתוח לטור חזקות שמתכנס ל-$f$ בסביבה של $x_{0}$: $$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots$$ לטור כזה יש סביבת התכנסות המכילה כדור פתוח ברדיוס $R$, נאמר, ומוכלת בכדור הסגור בעל אותו רדיוס.

ממבחן השורש של קושי נובע שטור החזקות המייצג את $f$ הוא גזיר, והנגזרת בעלת אותו רדיוס התכנסות. לכן פונקציה אנליטית גזירה אינסוף פעמים בנקודה $x_{0}$. הדוגמה הפשוטה לפונקציה אנליטית היא פולינום בעל מקדמים ממשיים או מרוכבים.

אומרים שפונקציה $f$ היא אנליטית בתחום פתוח $D$ אם היא אנליטית בכל נקודה בתחום $D$.

הכללה לכמה משתנים

נניח כעת כי $f$ היא פונקציה (שוב, ממשית או מרוכבת) של $n$ משתנים. נאמר ש-$f$ אנליטית בנקודה $\,{\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})$ אם $f$ מוגדרת בסביבה של ${\vec {x}}$ וניתנת לפיתוח לטור חזקות שמתכנס ל-$f$ בסביבה של ${\vec {x}}$:

$$\,f(t_{1},\dots ,t_{n})=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}=n}a_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(t_{1}-x_{1})^{i_{1}}(t_{2}-x_{2})^{i_{2}}\dots (t_{n}-x_{n})^{i_{n}}$$

תכונות

סגירות

• סכום של פונקציות אנליטיות (בנקודה) היא פונקציה אנליטית (באותה נקודה).
• מכפלה של פונקציות אנליטיות היא אנליטית.
• אם $f$ אנליטית ב-$x_{0}$ ו-$g$ אנליטית ב-$y_{0}=f(x_{0})$, אז ההרכבה $g\circ f$ אנליטית ב-$x_{0}$.
• אם $f,g$ אנליטיות ב-$x_{0}$ ו-$g(x_{0})\neq 0$ אז ${\frac {f}{g}}$ גם אנליטית באותה נקודה.

דוגמאות לפונקציות אנליטיות בכל המישור המרוכב

• כל פולינום.
• פונקציית האקספוננט $e^{z}$.
• הפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס.

דוגמאות לפונקציה שאינה אנליטית

• פונקציית הצמוד המרוכב ופונקציית הערך מוחלט $|z|$ אינן אנליטיות (באף נקודה).

שורשים והתאפסויות

• אם לפונקציה אנליטית $f$ יש מספר בן מנייה של אפסים ולהם נקודת הצטברות בתוך התחום, אזי $f$ שווה לאפס בכל תחום הקשירות המכיל את נקודת ההצטברות.
• אם הנגזרות מכל הסדרים של פונקציה אנליטית בנקודה מסוימת הן אפס אזי היא קבועה בכל תחום הקשירות של נקודה זו.

גזירות וחלקות

גרף הפונקציה $\,f(x)=e^{-1/x^{2}}$

• אם פונקציה היא אנליטית אזי היא גזירה אינסוף פעמים. במילים אחרות, כל פונקציה אנליטית היא חלקה.
• יש פונקציות ממשיות שהן גזירות אינסוף פעמים, ואינן אנליטיות. לדוגמה, הפונקציה $f(x)=e^{-1/x^{2}}$ (כאשר מגדירים $f(0)=0$) היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים, אך כל הנגזרות שלה בנקודה 0 שוות ל-0, ולכן טור טיילור שלה באותה נקודה הוא פונקציית האפס, ולפיכך אינו מתכנס אל $f$ באף סביבה של 0 (ראו גם פונקציית בליטה).
• אם $f$ אנליטית ב-0 אזי טור החזקות של $f$ הוא טור טיילור שלה.

ראו גם

• פונקציה שלמה
• אנליזה מתמטית
• אנליזה מרוכבת
• נגזרת
• טור טיילור
• רדיוס התכנסות
• משוואות קושי-רימן

קישורים חיצוניים

• פונקציה אנליטית, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציות אנליטיות, דף שער בספרייה הלאומית