עריכה
תהי
F
{\displaystyle F}
פונקציית ההתפלגות המצטברת (פה"מ) של ההתפלגות
D
{\displaystyle D}
F
{\displaystyle F}
F
−
{\displaystyle F^{-}}
F
−
(
p
)
=
i
n
f
{
x
:
F
(
x
)
≥
p
}
{\displaystyle F^{-}(p)=inf\{x:F(x)\geq p\}}
או במילים: הערך של
F
−
{\displaystyle F^{-}}
אינפימום ) עבורו
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
D
{\displaystyle D}
התפלגות רציפה , אז ההופכית המוכללת
F
−
{\displaystyle F^{-}}
פונקציה ההופכית של
F
{\displaystyle F}
F
−
(
p
)
=
F
−
1
(
p
)
=
{
x
:
F
(
x
)
=
p
}
{\displaystyle F^{-}(p)=F^{-1}(p)=\{x:F(x)=p\}}
ההגדרה ה"מסובכת" יותר שהופיעה בהתחלה נועדה "לתפוס" גם התפלגויות בדידות , שעבורן לא קיימת התפלגות הופכית
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
בהינתן משתנה מקרי
U
{\displaystyle U}
F
−
(
U
)
{\displaystyle F^{-}(U)}
D
{\displaystyle D}
כלומר, על מנת לקבל מספר אקראי מהתפלגות
D
{\displaystyle D}
F
−
(
U
)
{\displaystyle F^{-}(U)}
הקושי העיקרי הקיים בשיטה, הוא שלעיתים קשה למצוא את ההופכית המוכללת
F
−
{\displaystyle F^{-}}
F
{\displaystyle F}
דגימה מהתפלגות מעריכית עם פרמטר
λ
=
2
{\displaystyle \lambda =2}
בצבע כחול מייצגות 200 דגימות אקראיות, כשבציר ה-X מופיעים הערכים של הדגימה המקורית מהתפלגות אחידה בקטע (0,1), ובציר ה-Y הערכים ה"מתאימים" בהתפלגות המעריכית. בצבע אדום מצויר קו המייצג את הפונקציה ההופכית התאורטית. נניח שאנו רוצים לדגום מספר מהתפלגות מעריכית עם פרמטר
λ
{\displaystyle \lambda }
F
(
x
)
=
1
−
e
−
λ
x
{\displaystyle F(x)=\ 1-e^{-\lambda x}}
נמצא את הפונקציה ההופכית:
F
(
x
)
=
1
−
e
−
λ
x
=
u
{\displaystyle F(x)=\ 1-e^{-\lambda x}=u}
e
−
λ
x
=
1
−
u
{\displaystyle e^{-\lambda x}=1-u}
−
λ
x
=
l
n
(
1
−
u
)
{\displaystyle -\lambda x=ln(1-u)}
F
−
1
(
u
)
=
x
=
−
l
n
(
1
−
u
)
λ
{\displaystyle F^{-1}(u)=x=-{\frac {ln(1-u)}{\lambda }}}
כלומר, נדגום מספר u מהתפלגות אחידה בקטע (0,1), ואז
−
l
n
(
1
−
u
)
λ
{\displaystyle -{\frac {ln(1-u)}{\lambda }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
עריכה
נניח שאנו רוצים לדגום מספר מהתפלגות אחידה בדידה בין a ל-b. הפה"מ הוא:
F
(
x
)
=
⌊
x
⌋
−
a
+
1
b
−
a
+
1
{\displaystyle F(x)={\frac {\lfloor x\rfloor -a+1}{b-a+1}}}
נמצא את הפונקציה ההופכית המוכללת, עבור x בקטע [a,b]:
F
(
x
)
=
⌊
x
⌋
−
a
+
1
b
−
a
+
1
≥
u
{\displaystyle F(x)={\frac {\lfloor x\rfloor -a+1}{b-a+1}}\geq u}
⌊
x
⌋
−
a
+
1
≥
u
(
b
−
a
+
1
)
{\displaystyle \lfloor x\rfloor -a+1\geq u(b-a+1)}
⌊
x
⌋
≥
u
(
b
−
a
+
1
)
+
a
−
1
{\displaystyle \lfloor x\rfloor \geq u(b-a+1)+a-1}
ה-
x
{\displaystyle x}
u
(
b
−
a
+
1
)
+
a
−
1
{\displaystyle u(b-a+1)+a-1}
F
−
(
u
)
=
x
=
⌈
u
(
b
−
a
+
1
)
+
a
−
1
⌉
{\displaystyle F^{-}(u)=x=\lceil u(b-a+1)+a-1\rceil }
כלומר, נדגום מספר u מהתפלגות אחידה בקטע (0,1), ואז
⌈
u
(
b
−
a
+
1
)
+
a
−
1
⌉
{\displaystyle \lceil u(b-a+1)+a-1\rceil }
ניתן לראות שהתוצאה שקיבלנו היא הגיונית, שכן עבור u קרוב מאוד ל-1 נקבל
F
−
(
1
−
)
=
b
{\displaystyle F^{-}(1^{-})=b}
F
−
(
0
+
)
=
a
{\displaystyle F^{-}(0^{+})=a}
על מנת להוכיח את נכונות השיטה, יש להוכיח שבהינתן התפלגות
D
{\displaystyle D}
F
{\displaystyle F}
משתנה מקרי
U
{\displaystyle U}
התפלגות אחידה רציפה בקטע (0,1), מתקיים:
F
−
(
U
)
{\displaystyle F^{-}(U)}
D
{\displaystyle D}
עריכה
אם
D
{\displaystyle D}
התפלגות רציפה , אז ההופכית המוכללת
F
−
{\displaystyle F^{-}}
פונקציה ההופכית של
F
{\displaystyle F}
F
−
(
p
)
=
F
−
1
(
p
)
=
{
x
:
F
(
x
)
=
p
}
{\displaystyle F^{-}(p)=F^{-1}(p)=\{x:F(x)=p\}}
ההוכחה במקרה זה היא יחסית פשוטה; פונקציית ההתפלגות של
F
−
1
(
U
)
{\displaystyle F^{-1}(U)}
G
{\displaystyle G}
G
(
x
)
=
P
r
(
F
−
1
(
U
)
≤
x
)
{\displaystyle G(x)=Pr\left(F^{-1}(U)\leq x\right)}
נפעיל את
F
{\displaystyle F}
פונקציה מונוטונית -עולה) על שני צידי האי-שוויון בתוך נוסחת ההסתברות, ונקבל:
P
r
(
F
−
1
(
U
)
≤
x
)
=
P
r
(
F
(
F
−
1
(
U
)
)
≤
F
(
x
)
)
=
P
r
(
U
≤
F
(
x
)
)
{\displaystyle Pr\left(F^{-1}(U)\leq x\right)=Pr\left(F\left(F^{-1}(U)\right)\leq F(x)\right)=Pr\left(U\leq F(x)\right)}
וכיוון ש-
U
{\displaystyle U}
P
r
(
U
≤
F
(
x
)
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle Pr\left(U\leq F(x)\right)=F(x)}
משלושת השוויונות נובע:
G
(
x
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle G(x)=F(x)}
כלומר אכן הפה"מ של התפלגות של
F
−
1
(
U
)
{\displaystyle F^{-1}(U)}
F
{\displaystyle F}
F
−
1
(
U
)
{\displaystyle F^{-1}(U)}
D
{\displaystyle D}
עריכה
לכל
p
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle p\in (0,1)}
x
∈
F
−
(
0
,
1
)
{\displaystyle x\in F^{-}(0,1)}
מכיוון ש-
F
−
{\displaystyle F^{-}}
F
(
x
)
≥
p
{\displaystyle F(x)\geq p}
1.
F
(
F
−
(
p
)
)
≥
p
{\displaystyle F\left(F^{-}(p)\right)\geq p}
שכן אחרת
F
(
x
)
<
p
{\displaystyle F(x)<p}
מכיוון ש-
F
−
{\displaystyle F^{-}}
אינפימום על פני כל ערכי x המקיימים
F
(
x
)
≥
p
{\displaystyle F(x)\geq p}
2.
F
−
(
F
(
x
)
)
≤
x
{\displaystyle F^{-}\left(F(x)\right)\leq x}
שכן אחרת:
F
−
(
F
(
x
)
)
>
x
{\displaystyle F^{-}\left(F(x)\right)>x}
F
−
(
F
(
x
)
)
{\displaystyle F^{-}\left(F(x)\right)}
משני האי-שוויונים לעיל נובע שקבוצת ה-x-ים וה-p-ים המקיימים
F
−
(
p
)
≤
x
{\displaystyle F^{-}(p)\leq x}
F
(
x
)
≥
p
{\displaystyle F(x)\geq p}
{
(
p
,
x
)
|
F
(
x
)
≥
p
}
=
{
(
p
,
x
)
|
F
−
(
p
)
≤
x
}
{\displaystyle \left\{(p,x)|F(x)\geq p\right\}=\left\{(p,x)|F^{-}(p)\leq x\right\}}
הוכחה:
אם יש (x,p) השייך לקבוצה הראשונה, כלומר מקיים
F
−
(
p
)
≤
x
{\displaystyle F^{-}(p)\leq x}
F
{\displaystyle F}
פונקציה מונוטונית -עולה) על שני הצדדים ונקבל:
F
(
F
−
(
p
)
)
≤
F
(
x
)
{\displaystyle F\left(F^{-}(p)\right)\leq F(x)}
p
≤
F
(
F
−
(
p
)
)
≤
F
(
x
)
{\displaystyle p\leq F\left(F^{-}(p)\right)\leq F(x)}
p
≤
F
(
x
)
{\displaystyle p\leq F(x)}
אם יש (x,p) השייך לקבוצה השנייה, כלומר מקיים
F
(
x
)
≥
p
{\displaystyle F(x)\geq p}
F
−
{\displaystyle F^{-}}
פונקציה מונוטונית -עולה) על שני הצדדים ונקבל:
F
−
(
F
(
x
)
)
≥
F
−
(
p
)
{\displaystyle F^{-}\left(F(x)\right)\geq F^{-}(p)}
x
≥
F
−
(
F
(
x
)
)
≥
F
−
(
p
)
{\displaystyle x\geq F^{-}\left(F(x)\right)\geq F^{-}(p)}
x
≥
F
−
(
p
)
{\displaystyle x\geq F^{-}(p)}
המטרה שלנו היא להוכיח שפונקציית ההתפלגות של
F
−
(
U
)
{\displaystyle F^{-}(U)}
F
{\displaystyle F}
F
−
(
U
)
{\displaystyle F^{-}(U)}
G
{\displaystyle G}
G
(
x
)
=
P
r
(
F
−
(
U
)
≤
x
)
{\displaystyle G(x)=Pr\left(F^{-}(U)\leq x\right)}
לפי מה שהוכחנו בשלב הקודם, מתקיים בהכרח (נציב את U במקום p):
P
r
(
F
−
(
U
)
≤
x
)
=
P
r
(
U
≤
F
(
x
)
)
{\displaystyle Pr\left(F^{-}(U)\leq x\right)=Pr\left(U\leq F(x)\right)}
וכיוון ש-
U
{\displaystyle U}
P
r
(
U
≤
F
(
x
)
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle Pr\left(U\leq F(x)\right)=F(x)}
משלושת השוויונות נובע:
G
(
x
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle G(x)=F(x)}
כלומר אכן הפה"מ של התפלגות של
F
−
(
U
)
{\displaystyle F^{-}(U)}
F
{\displaystyle F}
F
−
(
U
)
{\displaystyle F^{-}(U)}
D
{\displaystyle D}
