פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה , לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקרייםעריכה

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי:   מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

  1. הגבול   שווה ל-0.
  2. הגבול   שווה ל-1.
  3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר   לכל  .
  4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות  . ואכן, אם דורשים ש-  , נובע שהגבול משמאל   שווה להסתברות  . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה  ,  ,   ו-  .

בפרט נובע ש- , כך שהסיכוי למאורעות   הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

 

דוגמאותעריכה

קובייהעריכה

נניח ש-  הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של   נתונה על ידי:

 

התפלגות ברנוליעריכה

דוגמה נוספת: נניח ש-  הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי  , ואת הערך 0 בסיכוי   (למשל: אם   אז  ).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של   נתונה על ידי:

 

כי ההסתברות ש-  יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא  .

התפלגות אחידה רציפהעריכה

נניח ש-  מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של   נתונה על ידי:

 

כי ההסתברות ש-  יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך גדול מ-1 היא 100%, וההסתברות למאורע   לכל מספר   בין 0 ל-1 היא  .

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף