הפרש סימטרי

הפרש סימטרי היא פעולה בינארית על קבוצות. שעבור שתי קבוצות $A$ ו-$B$ היא מחזירה קבוצה $C$ המורכבת מכל איברי $A$ שלא שייכים ל-$B$ וכל איברי $B$ שלא שייכים ל-$A$ - כלומר, היא כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של A ו-B. הפרש סימטרי הוא האיחוד ללא החיתוך:
$~\setminus ~$ $~=~$

הגדרה

ההפרש הסימטרי, המסומן $\Delta$ מוגדר כדלהלן:

$A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

תכונות

• הפעולה היא פעולה קומוטטיבית: $A\Delta B=B\Delta A$
• זוהי פעולה אסוציאטיבית: $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$

פעולת ההפרש הסימטרי היא המקבילה בתורת הקבוצות לפעולת ה-XOR באלגברה בוליאנית.

אם $X$ קבוצה, אז קבוצת החזקה $P(X)$, עם הפעולות חיתוך (בתפקיד 'כפל') והפרש סימטרי (בתפקיד 'חיבור'), מהווה חוג קומוטטיבי, המקיים בנוסף את התכונה $x^{2}=x$ לכל $x$.

ראו גם

• הפרש של קבוצות
• איחוד (מתמטיקה)
• חיתוך (מתמטיקה)
• מונחים בתורת הקבוצות
• XOR

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הפרש סימטרי בוויקישיתוף

• הפרש סימטרי, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.