הפרש סימטרי

הפרש סימטרי היא פעולה בינארית על קבוצות. עבור שתי קבוצות $A,B$ היא מחזירה קבוצה $C$ המורכבת מכל איברי $A$ שלא שייכים ל-$B$ וכל איברי $B$ שלא שייכים ל-$A$ – כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של A ו-B. הפרש סימטרי הוא האיחוד ללא החיתוך:
$~\setminus ~$ $~=~$

הגדרה

ההפרש הסימטרי, המסומן $\triangle$ מוגדר כדלהלן:

$A\,\triangle \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

תכונות

• קומוטטיביות: $A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A$
• אסוציאטיביות: $(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C)$

פעולת ההפרש הסימטרי היא המקבילה בתורת הקבוצות לפעולת ה-XOR באלגברה בוליאנית.

אם $X$ קבוצה, אז קבוצת החזקה $P(X)$, עם הפעולות חיתוך (בתפקיד 'כפל') והפרש סימטרי (בתפקיד 'חיבור'), מהווה חוג קומוטטיבי, המקיים בנוסף את התכונה $x^{2}=x$ לכל $x$.

ראו גם

• הפרש של קבוצות
• איחוד (מתמטיקה)
• חיתוך (מתמטיקה)
• תורת הקבוצות - מונחים
• XOR

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הפרש סימטרי בוויקישיתוף

• הפרש סימטרי, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.