תורת הקבוצות - מונחים

תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
- תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
- תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.

קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.

תת קבוצה: קבוצה $B$ היא תת קבוצה של הקבוצה $A$ אם כל איבר של $B$ שייך גם ל- $A$ . נסמן זאת בצורה: $B\subseteq A$ .

הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן $\emptyset$ (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
פעולות על קבוצות:
- איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: $A\cup B$ $A\cup B$ .
  - הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
- חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: $A\cap B$ $A\cap B$ .
  - הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    - מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ ו- $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
- הפרש: ההפרש בין $A$ $A$ ל־ $B$ $B$ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־ $A$ $A$ ולא שייכים ל־ $B$ $B$ .
  - פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
- הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות $A$ $A$ ו- $B$ $B$ הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי $A$ $A$ שלא שייכים ל- $B$ $B$ וכל איברי $B$ $B$ שלא שייכים ל־ $A$ $A$ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
  - הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות $A,B$ $A,B$ היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל- $A$ $A$ והשני שייך ל- $B$ $B$ . ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
  - הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
- בחירה
קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה $A$ $A$ תסומן $\left|A\right|$ $\left|A\right|$ .
- $\aleph _{0}$ (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
- $\aleph$ או ${\mathfrak {c}}$ : עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.

השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין $\aleph _{0}$ ו- $\aleph$ , זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).

קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס).
קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה $A$ תסומן ${\mathcal {P}}(A)$ .

יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - $A$ $A$ , והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - $B$ $B$ (לא בהכרח שונה מ- $A$ $A$ ). בכתיב פורמלי: קבוצה $R$ $R$ תיקרא יחס מ- $A$ $A$ ל- $B$ $B$ אם $\!\,R\subseteq A\times B$ $\!\,R\subseteq A\times B$ .
- פונקציה: יחס בו לכל איבר של $A$ $A$ קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
  - פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה $\!\,f:X\rightarrow Y$ תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לכל היותר $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $\!\,f(x)=y$ .
  - פונקציה על: פונקציה $\!\,f:X\rightarrow Y$ תקרא על אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לפחות $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $\!\,f(x)=y$ .
  - פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל $y$ קיים $x$ יחיד כך ש- $f(x)=y$ (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
- יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה $A$ המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
- סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
  - סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
    - סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
  - שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

קבוצת כל הפונקציות מקבוצה $A$ לקבוצה $B$ : קבוצה המסומנת $B^{A}$ והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה $A$ אל תוך הקבוצה $B$ .

הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

משפטים:
- משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
- האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
- משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה $A$ לקבוצה $B$ , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה $B$ לקבוצה $A$ , אז שתי הקבוצות שקולות.