הרחבת חוג

יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: תרגומכונה.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

באלגברה, הרחבת חוג של חוג R על ידי חבורה חילופית I היא זוג ( E, ) המורכב מחוג E והומומורפיזם חוגי שמתאים לרצף המדויק הקצר של חבורות חילופיות:

יש לזכור כי I הוא אז אידיאל דו צדדי של E. בהינתן חוג חילופי A, הרחבת-A מוגדרת באותו אופן על ידי החלפת "חוג" עם " אלגברה על A" ו "חבורה חילופית" עם "מודול - A ".

נאמר כי הרחבה היא טריוויאלית אם מתפצל; כְּלוֹמַר, נותן קטע שהוא הומומורפיזם .

מורפיזם בין הרחבות R על ידי I, על, לדוגמה, A, הוא הומומורפיזם אלגברה EE ' המשרה את הזהויות ב- I ו- R. לפי למת החמישה, מורפיזם כזה הוא בהכרח איזומורפיזם, ולכן שתי הרחבות שוות ערך אם יש מורפיזם ביניהן.

דוגמאותעריכה

דוגמה 1עריכה

בוא ניקח את החוג   של מספרים שלמים ובוא ניקח את הקבוצה החילופית   (תחת חיבור) של מספרים בינאריים. ניקח E =  , אנו יכולים להגדיר כפל על E באמצעות   (כאשר   הוא הומומורפיזם הממפה מספרים זוגיים ל-0 ומספרים אי-זוגיים ל-1). זה נותן את הרצף המדויק הקצר

 

איפה p הוא ההומומורפיזם   .

דוגמה 2עריכה

כך את R להיות חוג חילופי ו- M להיות מודול-R. תן E = RM להיות הסכום הישיר של חבורות חילופיות. הגדר את הכפל ב- E על ידי

 

אפשר לזהות את ( a, x ) עם a + εx כאשר ε בריבוע הוא אפס וכשמפשטים את ( a + εx ) ( b + εy ) מניבה את הנוסחה שלעיל; בפרט אנו רואים כי E הוא חוג. לאחר מכן יש לנו את הרצף המדויק הקצר

 

כאשר p ההקרנה. לפיכך, E הוא הרחבה של R על ידי M. תכונה מעניינת אחת של בנייה זו היא שהמודול M הופך לאידיאל של חוג חדש כלשהו. ב"local rings" שלו, נגאטה מכנה תהליך זה כעקרון האידיאליזציה .

קישורים חיצונייםעריכה