הרחבת חוג

באלגברה, הרחבת חוג של חוג R על ידי חבורה חילופית I היא זוג ( E, $\phi$ ) המורכב מחוג E והומומורפיזם חוגי $\phi$ שמתאים לרצף המדויק הקצר של חבורות חילופיות:

$0\to I\to E{\overset {\phi }{{}\to {}}}R\to 0.$

יש לזכור כי I הוא אז אידיאל דו צדדי של E. בהינתן חוג חילופי A, הרחבת-A מוגדרת באותו אופן על ידי החלפת "חוג" עם " אלגברה על A" ו "חבורה חילופית" עם "מודול - A ".

נאמר כי הרחבה היא טריוויאלית אם $\phi$ מתפצל; כְּלוֹמַר, $\phi$ נותן קטע שהוא הומומורפיזם .

מורפיזם בין הרחבות R על ידי I, על, לדוגמה, A, הוא הומומורפיזם אלגברה E → E ' המשרה את הזהויות ב- I ו- R. לפי למת החמישה, מורפיזם כזה הוא בהכרח איזומורפיזם, ולכן שתי הרחבות שוות ערך אם יש מורפיזם ביניהן.

דוגמאות

דוגמה 1

בוא ניקח את החוג $\mathbb {Z}$ של מספרים שלמים ובוא ניקח את הקבוצה החילופית $\mathbb {Z} _{2}$ (תחת חיבור) של מספרים בינאריים. ניקח E = $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}$, אנו יכולים להגדיר כפל על E באמצעות $(x,a)\cdot (y,b)=(xy,\phi (x)a+\phi (y)b)$ (כאשר $\phi :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}$ הוא הומומורפיזם הממפה מספרים זוגיים ל-0 ומספרים אי-זוגיים ל-1). זה נותן את הרצף המדויק הקצר

$0\to \mathbb {Z} \to E{\overset {p}{{}\to {}}}\mathbb {Z} \to 0$

איפה p הוא ההומומורפיזם $(x,a)\mapsto a\phi (x)$ .

דוגמה 2

כך את R להיות חוג חילופי ו- M להיות מודול-R. תן E = R ⊕ M להיות הסכום הישיר של חבורות חילופיות. הגדר את הכפל ב- E על ידי

$(a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).$

אפשר לזהות את ( a, x ) עם a + εx כאשר ε בריבוע הוא אפס וכשמפשטים את ( a + εx ) ( b + εy ) מניבה את הנוסחה שלעיל; בפרט אנו רואים כי E הוא חוג. לאחר מכן יש לנו את הרצף המדויק הקצר

$0\to M\to E{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0$

כאשר p ההקרנה. לפיכך, E הוא הרחבה של R על ידי M. תכונה מעניינת אחת של בנייה זו היא שהמודול M הופך לאידיאל של חוג חדש כלשהו. ב"local rings" שלו, נגאטה מכנה תהליך זה כעקרון האידיאליזציה .

קישורים חיצוניים

• E. Sernesi: דפורמציות של סכימות אלגבריות
• הרחבת חוג, באתר MathWorld (באנגלית)