הרכבת פונקציות

פעולה שלוקחת שתי פונקציות מתמטיות ועושה פונקציה מאחת מהן
(הופנה מהדף הרכבה של פונקציות)

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו. הפעולה מסומנת ע"י: o .

, הרכבה של על

ובאופן פורמלי: בהינתן קבוצות , אם פונקציה מ- ל- ו- פונקציה מ- ל-, אז ההרכבה (בסדר זה, קרי: מורכבת על ) היא הפונקציה מ- ל- המוגדרת לפי . ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה () מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה ().

כלומר, הערך של מתקבל על ידי החלת הפונקציה על כדי לקבל

, ואז החלת הפונקציה על התוצאה כדי לקבל .

תכונות

עריכה

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את   על   ואת   על  , אז  . בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה   לעצמה הוא מונויד. פונקציה   שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת   כך ש-  וגם   (דהיינו, ההרכבה   היא פונקציית הזהות על  , ובנוסף ההרכבה   היא פונקציית הזהות על  ). למעשה, אם קיימת פונקציה   שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של  " ולרוב מסומנת ב- .

הרכבה של פונקציות ממשיות

עריכה

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה   היא ההרכבה   כאשר   ו- .

ניתן לדון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם   ו-  פונקציות שעבורן   וכן גם קיים הגבול   (עבור   כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות   כאשר   קיים ושווה ל- . אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם   מתקיים:   רציפה ב-  (כלומר  ) או שקיימת סביבה מנוקבת של   שבה  . שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.

קישורים חיצוניים

עריכה
  מדיה וקבצים בנושא הרכבת פונקציות בוויקישיתוף
  • הרכבת פונקציות, באתר MathWorld (באנגלית)