הרכבת פונקציות

(הופנה מהדף הרכבה של פונקציות)

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

, הרכבה של על

ובאופן פורמלי: אם פונקציה מ- ל- ו- פונקציה מ- ל-, אז ההרכבה (בסדר זה, קרי: מורכבת על ) היא הפונקציה מ- ל- המוגדרת לפי . ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה () מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה ().

תכונותעריכה

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את   על   ואת   על  , אז  . בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה   לעצמה הוא מונויד. פונקציה   שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת   כך ש-  וגם   (דהיינו, ההרכבה   היא פונקציית הזהות על  , ובנוסף ההרכבה   היא פונקציית הזהות על  ). למעשה, אם קיימת פונקציה   שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של  " ולרוב מסומנת ב- .

הרכבה של פונקציות ממשיותעריכה

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה   היא ההרכבה   כאשר   ו-  .

ניתן לגון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם   ו-  פונקציות שעבורן   וכן גם קיים הגבול   (עבור   כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות   כאשר   קיים ושווה ל- . אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם   מתקיים:   רציפה ב-  (כלומר  ) או שקיימת סביבה מנוקבת של   שבה  . שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא הרכבת פונקציות בוויקישיתוף