ורסור

במתמטיקה, וֶרְסוֹר הוא איבר מנורמה 1 באלגברת הקווטרניונים של המילטון. לוורסורים קשר הדוק לסיבובים של המרחב התלת ממדי ויש להם שימושים רבים בגאומטריה חישובית.

ורסורים הוגדרו לראשונה על ידי ויליאם רואן המילטון. שמם בא מהשורש היווני ורסרי שפרושו לסובב.

ורסורים וסיבובים במרחב

כל קווטרניון ניתן לכתוב בצורה $a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ כאשר $a,b,c,d$ הם מספרים ממשיים. קווטרניונים שעבורם $a=0$ נקראים מדומים. אוסף הקווטרניונים המדומים הוא מרחב וקטורי תלת ממדי.

אם $\mathbf {r}$ הוא ורסור ו-$\mathbf {x}$ הוא קווטרניון מדומה אז הקווטרניון $\mathbf {r^{-1}xr}$ גם הוא מדומה וההעתקה $\mathbf {x\mapsto r^{-1}xr}$ היא סיבוב במרחב התלת ממדי של קווטרניונים מדומים.

באופן מפורש, אם כותבים ורסור בצורה $\mathbf {r} =\cos(\theta )+\sin(\theta )\mathbf {v}$, כאשר $\mathbf {v}$ הוא קווטרניון מדומה מנורמה 1 ו-$\theta \in [0,\pi ]$, אז הסיבוב שמתאים ל-$\mathbf {r}$ הוא הסיבוב בזווית $2\theta$ סביב הציר $\mathbf {v}$.

כל סיבוב במרחב מתקבל משני ורסורים בדיוק כי הסיבוב שמתאים לורסור $v$ שווה לסיבוב שמתאים לורסור $-v$. תכונה חשובה היא שהרכבת הסיבובים שמתאימים לוורסורים $r_{1},r_{2}$ היא הסיבוב שמתאים למכפלה $r_{1}r_{2}$.

כחבורת לי

אוסף הוורסורים הוא חבורת לי קומפקטית פשוטה ופשוטת קשר. חבורה זה היא האיבר היחיד המשותף לשלוש הסדרות האינסופיות של חבורות לי קומפקטיות פשוטות ופשוטות קשר, סדרת חבורות הספין, סדרת החבורות היוניטריות המיוחדות הקומפקטיות, וסדרת החבורות הסימפלקטיות הקומפקטיות. אפשר לסמן אותה, לכן, בכל אחד מהסימונים $Spin(3)$, $SU(2)$, $Sp(1)$.

ההעתקה שמתאימה לכל ורסור סיבוב היא הומומורפיזם $Sp(1)\rightarrow SO(3)$ שהוא כיסוי כפול. מכיוון שאוסף הוורסורים הוא, טופולוגית, ספירה תלת ממדית, נובע שחבורת הסיבובים $SO(3)$ הומיאומורפית למרחב הפרוייקטיבי התלת ממדי.

ורסורים היפרבולים

יש גם גרסה של אלגברת הקווטרניונים של המילטון עבור תבנית לורנץ על המרחב התלת ממדי. הוורסורים באלגברה זו מתאימים לטרנספורמציות לורנץ.