חבורת לי

בגאומטריה דיפרנציאלית ובאלגברה, חבורת לי היא יריעה חלקה עם מבנה של חבורה, כך שפעולות החבורה חלקות ביחס למבנה הגאומטרי (והדיפרנציאלי) של היריעה. חבורות לי הן אובייקטים גאומטריים ואלגבריים בו-זמנית, ובהתאם ניתן להוכיח עליהן טענות חזקות - הן גאומטריות והן אלגבריות, על ידי שילוב בין המבנה הגאומטרי והאלגברי שמוגדר בהן.

בחבורת לי כל הנקודות על היריעה הן גם איברים בחבורה, ואם נבצע את פעולת החבורה על שני איברים כלשהם a ו-b, ובמקביל נבצע את הפעולה על שני איברים המייצגים נקודות קרובות על גבי היריעה c ו-d, אז גם המכפלות יהיו נקודות קרובות על גבי היריעה, כלומר ab תהיה נקודה קרובה ל-cd.

חבורות לי קרויות על שם המתמטיקאי הנורווגי סופוס לי והוגדרו על ידיו לראשונה בשנת 1870. לחבורות לי חשיבות רבה באנליזה מתמטית, בפיזיקה ובגאומטריה.

הגדרה פורמלית

חבורת לי היא אובייקט חבורתי בקטגוריה של יריעות חלקות, כלומר - בהינתן יריעה חלקה שהיא גם חבורה G, נאמר ש-G היא חבורת לי אם פעולות הכפל וההופכי של החבורה הן פונקציות חלקות.

אלגברת לי של חבורת לי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

ערך מורחב – אלגברת לי

אלגברת לי של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת המרחב המשיק של איבר היחידה: ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=T_{e}G$. לכל חבורת לי מתאימה אלגברת לי יחידה אך ההפך איננו נכון. כך למשל, לאלגברת לי ${\mathfrak {so}}_{n}$ מתאימות חבורות לי $\mathrm {SO} _{n}$, $\mathrm {O} _{n}$ ו-$\mathrm {Spin} _{n}$. עם זאת, לכל אלגברת לי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.

את אלגבראות לי אפשר לאפיין באמצעות מערכות שורשים אותן אפשר לתאר גרפית באמצעות דיאגרמות דינקין.

מיון חבורות לי

כל חבורת לי קשירה, פשוטת קשר ופשוטה למחצה, היא מכפלה של חבורות לי פשוטות. לכל חבורת לי פשוטה מתאימה אלגברת לי פשוטה המתוארת על ידי דיאגרמת דינקין. באמצעות מיון דיאגרמות דינקין אפשר למיין את כל חבורות לי הפשוטות. מסתבר שאת דיאגרמות דינקין של חבורות לי פשוטות אפשר לסווג ל-4 משפחות כלליות $A_{n},\ B_{n},\ C_{n},\ D_{n}$ ועוד 5 מקרים שלא נופלים באף משפחה: $E_{6},\ E_{7},\ E_{8},\ F_{4},\ G_{2}$. להלן דיאגרמות דינקין המתאימות:

• הדיאגרמות מטיפוס $A_{n}$ מתארות משפחת החבורות היוניטריות $\mathrm {SU} (n+1)$.
• הדיאגרמות מטיפוס $B_{n}$ מתארות משפחת החבורות $\mathrm {Spin} (2n+1)$ שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות $\mathrm {SO} (2n+1)$.
• הדיאגרמות מטיפוס $C_{n}$ מתארות משפחת החבורות $\mathrm {Sp} (2n)$ שהיא חבורה סימפלקטית.
• הדיאגרמות מטיפוס $D_{n}$ מתארות משפחת החבורות $\mathrm {Spin} (2n)$ שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות $\mathrm {SO} (2n)$.
• החבורות שמתאימות לדיאגרמות $E_{6},\ E_{7},\ E_{8},\ F_{4},\ G_{2}$ לא נופלת באף משפחה לעיל ונקראות "חבורות לי ספורדיות".

דוגמאות

חבורת המעגל

דוגמה סטנדרטית לחבורת לי היא חבורת מעגל היחידה המרוכב:

$\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$

ניתן להוכיח כי $\mathbb {T}$ היא חבורה תחת פעולת הכפל. את הטופולוגיה של המרחב ניתן לבנות על-ידי קשתות פתוחות. על-פי טופולוגיה זו ניתן להראות כי $\mathbb {T}$ מהווה יריעה חלקה מממד 1 וכי פעולות הכפל וההופכי הן חלקות. מסיבות אלו, $\mathbb {T}$ היא חבורת לי.

ניתן להוכיח כי $\mathbb {T} \cong \operatorname {SO} (2)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ כאשר החבורה האמצעית היא החבורה הליניארית המיוחדת מממד 2 והחבורה הימנית היא חבורת המנה של המספרים השלמים תחת המספרים הממשיים.

החבורה הליניארית הכללית

ניתן להתייחס לחבורה הליניארית הכללית $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ כיריעה חלקה תחת טופולוגיית זריצקי. לפי טופולוגיה זו פעולות כפל מטריצות וההפכי שתיהן חלקות, ועל כן $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ היא חבורת לי.

ניתן להוכיח כי אלגברת לי המקושרת לחבורה זו היא ${\mathfrak {so}}_{n}$ הבנויה מכל המטריצות מגודל $n\times n$ עם פעולת הקומוטטור.

ראו גם

• אלגברת לי
• חבורה אלגברית
• מיון חבורות לי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חבורת לי בוויקישיתוף

• דוד ווגן, מצגת על חבורות לי, MIT
• חבורת לי, באתר MathWorld (באנגלית)
• חבורות לי, דף שער בספרייה הלאומית

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.