חבורה שלמה

בתורת החבורות, חבורה שלמה היא חבורה שהמרכז שלה טריוויאלי, וכל אוטומורפיזם שלה הוא פנימי, כלומר, מן הצורה עבור איבר קבוע בחבורה. אם היא חבורה כזו, אז יש איזומורפיזם טבעי מ- לחבורת האוטומורפיזמים שלה, , המוגדר לפי .

לדוגמה, החבורות הסימטריות הן שלמות לכל . אם חבורה פשוטה לא אבלית סופית, אז שלמה, כלומר . לפי משפט של Dyer-Formanek (1974), חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית לא אבלית מדרגה סופית היא שלמה.

התכונה החשובה ביותר של חבורות שלמות כרוכה בהתנהגות שלהן כתת-חבורות נורמליות בחבורות אחרות. אם תת חבורה נורמלית של , ו- שלמה, אז היא מרכיב ישר של , כלומר, קיים פירוק של כמכפלה ישרה . גם ההפך נכון: אם חבורה אינה יכולה להופיע כתת-חבורה נורמלית של חבורה בלי להיות מרכיב ישר שלה, אז היא שלמה.

ראו גםעריכה