חבורה שלמה

בתורת החבורות, חבורה שלמה היא חבורה שהמרכז שלה טריוויאלי, וכל אוטומורפיזם שלה הוא פנימי, כלומר, מן הצורה $\gamma _{g}:x\mapsto gxg^{-1}$ עבור איבר קבוע $g$ בחבורה. אם $G$ היא חבורה כזו, אז יש איזומורפיזם טבעי מ-$G$ לחבורת האוטומורפיזמים שלה, $\operatorname {Aut} (G)$, המוגדר לפי $g\mapsto \gamma _{g}$.

לדוגמה, החבורות הסימטריות $S_{n}$ הן שלמות לכל $n\neq 2,6$. אם $S$ חבורה פשוטה לא אבלית סופית, אז $A=\operatorname {Aut} (S)$ שלמה, כלומר $\operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} (S))\cong \operatorname {Aut} (S)$. לפי משפט של Dyer-Formanek (1974), חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית לא אבלית מדרגה סופית היא שלמה.

התכונה החשובה ביותר של חבורות שלמות כרוכה בהתנהגות שלהן כתת-חבורות נורמליות בחבורות אחרות. אם $K$ תת חבורה נורמלית של $G$, ו-$K$ שלמה, אז $K$ היא מרכיב ישר של $G$, כלומר, קיים פירוק של $G$ כמכפלה ישרה $G\cong K\times H$. גם ההפך נכון: אם חבורה $K$ אינה יכולה להופיע כתת-חבורה נורמלית של חבורה $G$ בלי להיות מרכיב ישר שלה, אז היא שלמה.

ראו גם

• חבורת האוטומורפיזמים