חבורות מתיו

בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות ו-, שמהן הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות ). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861-1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.

בניית חבורות מתיועריכה

החבורה   היא תת-חבורה מאינדקס 2 של  , כאשר   הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן   ו- ), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי  . פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.

אם מוסיפים ל-  את התמורה  , כאשר   יוצר של השדה מסדר 9, המקיים  , מתקבלת החבורה  , שפעולתה על   היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר  , שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.

כשמוסיפים לזה את התמורה  , מתקבלת החבורה  , שפעולתה על   היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר  , היחידה עם פרמטרים אלו.

החבורה   פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת  . הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר  . החבורה   מוכלת בחבורה   הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא   (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של  ; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים   של המערכת   פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל- .