חוג השלמים של גאוס

חוג השלמים של גאוס הוא אוסף המספרים (כאשר היא היחידה המדומה: ), דהיינו, מספרים מרוכבים בעלי קואורדינטות שלמות. אוסף זה, שהוא חוג השלמים בשדה , הוא חוג אוקלידי, ולכן יש בו פירוק יחיד לגורמים.

מספרים שלמים של גאוס כנקודות סריג במישור המרוכב

הנורמה מוגדרת על החוג הזה לפי הנוסחה , זוהי פונקציה כפלית, השווה לריבוע הערך המוחלט של מספרים מרוכבים. חוג השלמים של גאוס הוא אוקלידי ביחס לנורמה: לכל ולכל יש כך ש- . בזכות האוקלידיות אפשר לחשב מחלק משותף מקסימלי באמצעות אלגוריתם אוקלידס, ולכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.

הראשוניים של גאוסעריכה

כמו בכל תחום שלמות, איבר אי-פריק הוא איבר x שאי-אפשר לפרק בלי שאחד הגורמים יהיה הפיך. מכיוון שזהו תחום פריקות יחידה, כל איבר אי-פריק   הוא גם ראשוני (הוא אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה). לא כל מספר ראשוני במובן הרגיל של המלה נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. למשל,  , ולכן 5 פריק ואינו ראשוני. עם זאת, אם   ראשוני אז הנורמה שלו   היא או מספר ראשוני, במובן הרגיל של המלה, או ריבוע של מספר כזה (אכן,   מחלק את אחד הגורמים הראשוניים של המספר השלם  , נאמר  , ואז גם   ולכן  ). מכאן מתקבלת חלוקה של הראשוניים, עד כדי כפל באיבר הפיך, לשלוש קבוצות:

  • אלו המחלקים את 2: זהו הראשוני   (הגורם השני,  , נוצר מהכפלה של הראשון באיבר הפיך –  ).
  • אלו המחלקים ראשוני רציונלי p השקול ל-1 מודולו 4: לפי משפט של פרמה, כל ראשוני כזה הוא סכום של שני ריבועים  , ואז   הם שני הגורמים הראשוניים של p.
  • הראשוניים הרציונליים השקולים ל-3 מודולו 4.

תורת המספרים האלגברית חוקרת בין השאר את הפירוק של אידיאלים ראשוניים של   בחוג הגדול יותר  . בהתאמה לשלוש הקבוצות של ראשוניים שהוזכרו לעיל, 2 הוא ראשוני מסועף, עם "e=2" (ראו e, f ו-g); לראשוניים השקולים ל-1 מודולו 4 יש g=2; ולראשוניים הנותרים יש f=2. למשוואה   יש פתרון אם ורק אם f=1, כלומר בשני המקרים הראשונים.

ראו גםעריכה


קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא חוג השלמים של גאוס בוויקישיתוף