חילוק באפס

חילוק באפס היא הפעולה המתמטית של חילוק מספר במספר 0, ותוצאתה לרוב אינה מוגדרת. את הפעולה ניתן לרשום בצורה $\textstyle {\frac {a}{0}}$ .

ברוב תחומי המתמטיקה חילוק מוגדר ככפל במספר הופכי (ההופכי למספר a הוא מספר b כך שמכפלתם ab היא 1). מכיוון שלאפס לא קיים הופכי, בהגדרה, לא ניתן לחלק באפס.

ניתן להוכיח את אי-ההפיכות של אפס ישירות מהיותו איבר היחידה החיבורי: בזכות הדיסטריבוטיביות של כפל מעל חיבור, לכל $\ a$ מתקיים $a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$ ולכן לפי כלל הצמצום החיבורי (הנובע מכך שלכל איבר יש הופכי חיבורי) $\ a\cdot 0=0$ . מכאן שלא קיים איבר כך שמכפלתו באפס תתן 1.

גבולות עם חילוק באפס

מקרה ידוע בחשבון אינפיניטסימלי הוא של פונקציות שאינן מוגדרות בנקודה בגלל חילוק באפס. לדוגמה הפונקציה $\ f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$ . לכל $x\neq 1$ פונקציה זו היא פשוט הפונקציה הליניארית $g(x)=x+1$ . אולם בנקודה $x=1$ מתקבל חילוק באפס, ולכן הפונקציה לא מוגדרת שם. מסיבה זו, $f(x)\neq g(x)$ על הממשיים^[1] אך $f(x)=g(x)$ ב־ $\mathbb {R} \setminus \left\{1\right\}$ .

על הממשיים, מתקבלת נקודת אי רציפות סליקה ב־ $x=1$ , שכן ניתן "לסלק" אותה, ולהגדיר $f(1)=2$ , ותתקבל פונקציה רציפה.

דוגמה נוספת לנקודת אי רציפות סליקה היא בפונקציה $\ f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ בנקודה $x=0$ . ניתן להוכיח כי נקודה זו היא אי רציפות סליקה וניתן לתקן אותה על ידי ההגדרה $\ f(0)=1$ . לעובדה זו יש חשיבות במציאת הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות ובקירוב זוויות קטנות.

לא תמיד חילוק באפס בפונקציה תתן נקודת אי רציפות סליקה. בנקודות בהן גבול של הפונקציה הוא מהצורה $\textstyle {\frac {a}{0}}$ או $\textstyle {\frac {\infty }{0}}$ (עבור $a\neq 0$ ) אז נקודת אי הרציפות תהיה מהסוג השני, והפונקציה תשאף בנקודות אלו לאינסוף. רק בגבולות מהצורה $\textstyle {\frac {0}{0}}$ תיתכן כל תוצאה אפשרית לגבול, אשר ניתן לחשב אותה באמצעות כלל לופיטל.

בתורת החוגים

את הדיון בחילוק באפס במערכות המספרים המקובלות ניתן להכליל למבנים נוספים. הדיון מוגבל למבנים בהם יש איבר הדומה לאפס, ופעולה הדומה לחילוק. איבר אנלוגי לאפס נקרא איבר אפס, והוא דומה לאפס במובן שהוא איבר היחידה ביחס לפעולה הדומה לחיבור. המבנה הפשוט והנפוץ ביותר שיש בו איבר אפס ופעולה דמוית כפל שניתן להגדיר בעזרתה חילוק (ככפל בהופכי, כאשר קיים הופכי) הוא חוג. ההוכחה כי לכל a $\ a\cdot 0=0$ תקפה בכל חוג. בחוג לא טריוויאלי (יש בו יותר מאיבר אחד) איבר האפס עצמו לא יכול להיות איבר היחידה הכפלי ולכן לא קיים לאיבר האפס הופכי. במקרה של החוג הטריוויאלי, הכולל את איבר האפס בלבד שמתפקד גם כאיבר היחידה הכפלי, חילוק באפס כן מוגדר ומתקיים $\textstyle {\frac {0}{0}}=0$ .

באופן כללי בחוג עם יחידה יכולים להיות איברים נוספים שלא ניתן לחלק בהם. האיברים שניתן לחלק בהם נקראים איברים הפיכים. חוג שבו ניתן לחלק בכל איבר מלבד איבר האפס נקרא חוג עם חילוק.

הגדרת חילוק באפס

חלוקה באפס אינה מוגדרת מכיוון שלרוב הגדרת המנה לא תועיל בדבר לחקירה המתמטית ואף עלולה להוביל לפרדוקסים. אולם בענפים מתמטיים מסוימים, נהוג להגדיר את תוצאת החילוק באפס.

הישר הפרויקטיבי הממשי הוא הישר הממשי שנוספת לו נקודה נוספת: $\infty$ . הנקודה הנוספת היא אינסוף חסר סימן, ולכן לא ניתן להגיד שהוא גדול מכל החיוביים או קטן מכל השליליים. במקרה כזה לכל $a$ מתקיים $\textstyle {\frac {a}{0}}=\infty$ וכן $\textstyle {\frac {a}{\infty }}=0$ , מלבד $\textstyle {\frac {0}{0}}$ ו- $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$ שאינם מוגדרים. במובנים רבים הישר הפרויקטיבי הממשי "מקלקל" את שדה המספרים הממשיים, והוא כבר לא עונה להגדרה של שדה. בנוסף, הוספת אינסוף יוצרת עוד פעולות רבות לא מוגדרות, וחילוק כבר אינו הפוך לגמרי לכפל (למשל $\ \infty \cdot 0$ לא מוגדר).