טרקטריקס

טרקטריקס (באנגלית: Tractrix) הוא העקום לאורכו עצם נע כאשר הוא נמשך על גבי מישור אופקי על ידי קטע ישר המחובר בקצהו השני לנקודה הנעה (מושכת) לאורך קו ישר המאונך לקו ההתחלתי שמחבר בין הנקודה המושכת והעצם. זהו על כן סוג של עקום מרדף. הוא הוצג לראשונה על ידי Claude Perrault ב-1670, ונחקר מאוחר יותר על ידי אייזק ניוטון (1676) וכריסטיאן הויגנס (1692).

עקום טרקטריקס. העצם ממוקם בתחילה ב-(4,0).

שמו של העקום נגזר מהפועל הלטיני "trahere", שפירושו למשוך או לגרור.

גזירה מתמטית

יצירת טרקטריקס באמצעות גרירת עצם.

נניח שהעצם ממוקם ב-(a,0) (או (4,0) באיור לעיל) ושהנקודה המושכת היא בראשית, כך ש-a הוא אורכו של המוט המושך. אז הנקודה המושכת מתחילה לנוע לאורך הכיוון החיובי של ציר y. בכל רגע, המוט יהיה משיק לעקום (y = y(x שמתאר העצם, כך שמסלולו הופך תלוי לגמרי בתנועה של הנקודה המושכת. כיוון שגם אורך המוט קבוע בערכו ושווה ל-a, אז מקבלים מתמטית שמסלול העצם מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}$

יחד עם תנאי ההתחלה y(a) = 0. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הוא:

$y=\int _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt=\pm \left(a\ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)$

כאשר האיבר הראשון בפתרון הזה ניתן לכתיבה גם כ-: $a\operatorname {arsech} {\frac {x}{a}}$, כאשר arsech היא פונקציית הסקאנט ההיפרבולית ההופכית.

הענף השלילי של הפתרון מייצג את המקרה שבו הנקודה המושכת נעה בכיוון השלילי של ציר y. שני הענפים שייכים לטרקטריקס, ונפגשים בנקודת החוד (cusp) שהקואורדינטות שלה הן (a,o).

חשיבות העקום

משמעות חשובה לעקום הטרקטריקס נגזרת מחקר גוף הסיבוב שלו מסביב לאסימפטוטה שלו; הפסאודוספירה. משטח הפסאודוספירה, שנחקר על ידי אאוג'ניו בלטראמי ב-1868 כמשטח בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה, הוא מודל מקומי של גאומטריה לא אוקלידית (במקרה זה של גאומטריה היפרבולית).

תכונות

קו השרשרת כאוולוט של הטרקטריקס.

• התכונה הבסיסית של הטרקטריקס, שנגזרת ישירות מהדרך הגאומטרית בה הוא מוגדר, היא שלכל נקודה עליו, למקטע של הקו המשיק לו שמחבר בין נקודת ההשקה ונקודת החיתוך שלו עם האסימפטוטה, יש אורך קבוע a.
• אורך העקום בין נקודות x = x₁ ו-x = x₂ הוא $aln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})$.
• השטח בין הטרקטריקס לאסימפטוטה שלו הוא ${\frac {\pi a^{2}}{2}}$.
• המעטפת של קווי הנורמל של הטרקטריקס (שהיא גם האוולוט שלו) היא קו השרשרת שמשוואתו נתונה על ידי $y=acosh({\frac {x}{a}})$. להסבר מורחב לתופעה זאת ראו ערך פסאודוספירה.

מכונות שרטוט

• ב-1693, גוטפריד וילהלם לייבניץ תיאר מכניזם שיכל לבצע תרבוע מכני של עקומים. המכניזם, שהוא דוגמה מוקדמת למנגנון של "אינטגרף" (integraph), היה מבוסס על תכונות עקום הטרקטריקס.
• ב-1706 ג'ון פרקס בנה מכונה המבוססת על תכונות העקום שיכלה לבצע תרבוע היפרבולי.
• ב-1729 יוהאן פולני בנה מכונה דומה המאפשרת לשרטט עקומים לוגריתמיים.

ראו גם

• פסאודוספירה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טרקטריקס בוויקישיתוף