קטע (גאומטריה)

בגאומטריה, קטע הוא חלק מקו ישר התחום בין שתי נקודות על הישר, שהן קצות הקטע, וכולל את כל הנקודות שבין קצותיו. כאשר הקטע כולל גם את שתי הנקודות שבקצותיו, הוא נקרא קטע סגור; כאשר אינו כולל את שתי הנקודות הוא נקרא קטע פתוח; כאשר הוא כולל רק אחת מהן, הוא נקרא קטע חצי סגור וחצי פתוח. אורך הקטע הוא המרחק האוקלידי בין קצותיו. נהוג לסמן קטע בקו מעל האותיות המייצגות את קצותיו. ${\overline {AB}}$, למשל, הוא הקטע שבין הנקודה A לנקודה B.

הקטע ${\overline {AB}}$

שמות לקטעים מסוימים

לקטעים מסוימים ניתנו שמות משלהם, בהם:

• כל אחת מהצלעות של מצולע היא קטע.
• גם כל מקצוע של פאון הוא קטע.
• האלכסונים במצולע אף הם קטעים.
• כאשר קצות הקטע נמצאים על מעגל, הקטע קרוי מיתר. מיתר העובר דרך מרכז המעגל קרוי קוטר. קטע שקצהו האחד על המעגל וקצהו האחר במרכז המעגל קרוי רדיוס.
• במשולש ניתנו שמות לשלל קטעים:
  • הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם הצלע שממולו וחוצה את הזווית שבקודקוד לשני חלקים שווים קרוי חוצה זווית.
  • הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם אמצע הצלע שמולו קרוי תיכון.
  • הקו היוצא מאמצע הצלע ומאונך לה, נקרא אנך אמצעי.
  • הקטע היוצא מקודקוד של המשולש ומאונך לצלע שממולו קרוי גובה.
  • הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות קרוי קטע אמצעים.

קטעים במרחב וקטורי ממשי או מרוכב

כאשר V הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {R}$ או $\mathbb {C}$, אז L הוא קטע אם ניתן להצי את L בצורה $L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$, לווקטורים כלשהם $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$. הווקטורים u ו-u + v הם קצות הקטע L.

כאשר יש להבחין בין קטע סגור לקטע פתוח, קטע סגור יוגדר כאמור לעיל, ואקטע פתוח יוגדר $L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}$ לווקטורים כלשהם $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$.

בהגדרה שקולה, קטע הוא הקמור של שתי נקודות, ולכן ניתן לבטא את הקטע כצירוף קמור של שתי הנקודות שבקצותיו.

בגאומטריה ניתן לקבוע שנקודה B נמצאת בין נקודה A לנקודה C, כאשר המרחק AB ועוד המרחק BC שווה למרחק AC. כיוון שכך, ב-$\mathbb {R} ^{2}$ הקטע עם נקודות הקצה A = (a_x, a_y) ו-C = (c_x, c_y) הוא אוסף הנקודות הבא:

$\left\{(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}\right\}$

תכונות

מימין לשמאל: זוג קטעים מקבילים, זוג קטעים נחתכים וזוג קטעים שאינם מקבילים ואינם נחתכים

• קטע הוא קבוצה קשירה לא ריקה.
• כאשר V הוא מרחב וקטורי טופולוגי, קטע סגור הוא קבוצה סגורה ב-V. עם זאת, קטע פתוח הוא קבוצה פתוחה ב-V אם ורק אם V הוא חד-ממדי.
• זוג קטעים יכול להיות במצבים הבאים: חותכים זה את זה, מקבילים, מוטים או אף אחד מאלה. האפשרות האחרונה היא הבדל בין זוג קטעים לזוג ישרים: זוג ישרים שאינם מקבילים ונמצאים באותו מישור אוקלידי חייבים לחתוך זה את זה, אך תכונה זו אינה הכרחית בקטעים.

קטע כאליפסה מנוונת

ניתן לראות קטע כמקרה מנוון של אליפסה, שבה הציר המשני הוא באורך 0, המוקדים הם קצות הקטע, והאקסצנטריות היא 1. הגדרה מקובלת של אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור הוא קבוע. כאשר קבוע זה שווה למרחק שבין המוקדים, התוצאה היא קטע.

ראו גם

• קטע (מתמטיקה)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קטע בוויקישיתוף

• קטע, באתר MathWorld (באנגלית)
• Line Segment, באתר Math Open Reference