נוכיח את המקרה בו סופי.
יהי כלשהו.
לפי הגדרת הגבול, קיים טבעי, כך שלכל מתקיים
.
כיוון שהסדרה מונוטונית עולה ממש, , כלומר וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:
יהא טבעי כלשהו כך ש- (בהכרח קיים כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל נקבל את האי שוויון הבא:
נחלק את אי השוויון ב- ונקבל
ברור כי
.
לכן קיים טבעי כך שלכל
מתקיים .
כן ברור כי לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים . לפיכך, אם נבחר , נקבל שלכל יתקיים:
, כלומר -
ולפיכך, .
- נחשב את הגבול כאשר .
- נסמן , ו־ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
-
- ולכן, לפי המשפט, .
- נחשב את הגבול כאשר .
- נסמן , ו־ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
-
- השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
- ולכן, לפי המשפט, .