כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל

כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה $\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx$.

ניסוח הכלל

תהי $f(x,y)$ פונקציה רציפה במלבן $[a,b]\times [\alpha ,\beta ]$, וגזירה ברציפות לפי $y$ (${\frac {\partial f}{\partial y}}$ קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות $a(y),b(y)$ גזירות בקטע $[\alpha ,\beta ]$. אזי

$${\frac {d}{dy}}\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)$$

מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות $a(y),b(y)$ קבועות, כלומר $a(y)\equiv a,b(y)\equiv b$. אז נקבל כי

${\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx$

הוכחת הכלל

שלב א – הוכחת המקרה הפרטי

תהי $g(x,y)$ רציפה. נגדיר

$G(y)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)dx$

ונטען שהיא רציפה. יהי $\varepsilon >0$.

לפי משפט קנטור, כיוון ש-$g$ רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים $\delta >0$ כך שאם $d{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}<\delta$ אז ${\bigl |}g(x_{1},y_{1})-g(x_{2},y_{2}){\bigr |}<\varepsilon$.

יהיו $y_{1},y_{2}\in [\alpha ,\beta ]$ המקיימים $|y_{1}-y_{2}|<\delta$. אבל $d{\bigl (}(x,y_{1}),(x,y_{2}){\bigr )}=|y_{1}-y_{2}|<\delta$ ולכן

$$|G(y_{1})-G(y_{2})|=\left|\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{1})dx-\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{2})dx\right|=\left|\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr )}dx\right|\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr |}dx<\int \limits _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a)$$

מכאן ש-$G$ אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).

בפרט אם נבחר $G(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx$ היא רציפה מההנחה כי ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ רציפה. כעת, נביט בהפרש:

$$\Delta G=G(x,y+\Delta y)-G(x,y)=\int \limits _{a}^{b}f(x,y+\Delta y)dx-\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}f(x,y+\Delta y)-f(x,y){\bigr )}dx$$

כיוון ש-$f$ רציפה וגזירה לפי $y$, נוכל להיעזר במשפט לגראנז' ולקבל שקיימת $0<\theta <1$ עבורה $f(x,y+\Delta y)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)\cdot \Delta y$ (זאת כי קיבענו את $x$). לכן:

$${\frac {\Delta G}{\Delta y}}=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)dx=G(y+\theta \Delta y)\,\xrightarrow {\Delta y\to 0} \,G(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx$$

כי $G$ רציפה. כלומר הראנו כי $G'(y)={\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx$.

שלב ב – הוכחת המקרה הכללי

אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה $F(y)=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx$.

לשם כך נגדיר פונקציה חדשה $\phi (s,t,y)=\int \limits _{s}^{t}f(x,y)dx$ ונבחין כי $F(y)=\phi (a(y),b(y),y)$.

מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של $\phi$ לפי $s,t$ בהתאמה הן

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}(s,t,y)=f(t,y),\quad {\frac {\partial \phi }{\partial s}}(s,t,y)=-f(s,y)$

ואלה רציפות מההנחה כי $f(x,y)$ רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של $\phi$ לפי $y$ היא

${\frac {\partial \phi }{\partial y}}(s,t,y)=\int \limits _{s}^{t}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx$

וזו פונקציה רציפה מההנחה כי ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של $\phi$ קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם $F$ דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים

$${\begin{aligned}F'(y)&={\frac {\partial \phi }{\partial s}}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(a(y),b(y),y)\cdot b'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx\end{aligned}}$$

כנדרש.

דוגמאות

דוגמה 1 – גבולות התלויים במשתנה הגזירה

נחשב את הנגזרת הבאה ($x>0$):

$${\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{x^{2}}{\frac {\cos(t)}{t}}dt={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x)={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot 2x-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot 1={\frac {2\cos(x^{2})-\cos(x)}{x}}$$

דוגמה 2 – שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים

נחשב את האינטגרל $\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}dx$.

לשם כך נסמן $f(\alpha )=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}dx$ עבור $\alpha \geq 0$ והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא $f(2)$. נגזור ונקבל

$$f'(\alpha )={\frac {d}{d\alpha }}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}(e^{\alpha \ln(x)}-1)dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}\ln(x)\cdot e^{\alpha \ln(x)}dx=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}{\Bigg |}_{0}^{1}={\frac {1}{\alpha +1}}$$

מכאן $f(\alpha )=\int {\frac {1}{\alpha +1}}d\alpha =\ln(\alpha +1)+C$.

נבחין כי $f(0)=\int \limits _{0}^{1}0\,dx=0$. אזי $f(0)=\ln(0+1)+C=C=0$, כלומר $f(\alpha )=\ln(\alpha +1)$ ולכן $\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}dx=\ln(3)$.

קישורים חיצוניים

• כלל האינטגרל של לייבניץ, באתר MathWorld (באנגלית)
• על הכלל באתר Brilliant
• Leibniz integral rule, סרטון באתר יוטיוב