למת ז'ורדן

באנליזה מרוכבת, למת ז'ורדן היא תוצאה שימושית, המיושמת בדרך כלל ביחד עם משפט השארית כדי לחשב אינטגרלים קוויים (במישור המרוכב) ואינטגרלים לא אמיתיים. הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי קאמי ז'ורדן.

ניסוח הלמהעריכה

נתייחס לפונקציה מרוכבת ורציפה f המוגדרת על מסילה חצי-מעגלית

 

שהינה בעלת רדיוס חיובי R, הנמצאת בחצי המישור העליון ושמרכזה בראשית. אם הפונקציה f היא מהצורה

 

עם פרמטר a חיובי, אז למת ז'ורדן היא האי-שוויון הבא עבור האינטגרל לאורך המסלול החצי-מעגלי:

 

כאשר שוויון בין אגף שמאל לחסם העליון שבאגף ימין מושג כאשר g מתאפסת בכל מקום על המסילה, ובמקרה זה שני האגפים הם זהותית אפס. טענה אנלוגית תופסת עבור מסלול אינטגרציה חצי-מעגלי בחצי המישור התחתון כאשר 0>a.

אם f רציפה על המסילה החצי-מעגלית CR בעבור R גדול במידה שרירותית ו-

(*)  

אז לפי למת ז'ורדן:  .

יישום של למת ז'ורדןעריכה

 
המסילה C היא השרשור של המסילות C1 ו-C2.

למת ז'ורדן מספקת דרך נוחה לחשב את האינטגרל לאורך הציר הממשי של פונקציות מהצורה f(z) = ei a z g(z) שהם הולומורפיות בחצי המישור העליון ורציפות בחצי המישור העליון הסגור למעט אולי מספר סופי של נקודות לא ממשיות z1, z2, …, zn. אינטגרלים מסוג זה מופיעים באופן טבעי כאשר מוצאים התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציות מסוימות, כך שלמת ז'ורדן היא שימושית ביותר בחישובים כאלו. כדי להיווכח בכך, נסתכל על המסילה הסגורה C שהיא השרשור של המסלולים C1 ו-C2 הנראים באיור. לפי הגדרה

 

מכיוון שעל C2 המשתנה z הוא ממשי, האינטגרל השני הוא ממשי:

 

אגף שמאל יכול להיות מחושב בעזרת משפט השארית וכך נקבל, עבור כל R הגדול יותר מהמקסימום של z1|, |z2|,...|zn|, ש-

 

כאשר Res(f, zk) מסמל את השארית של f בנקודות הסינגולריות zk. לפיכך, אם f מקיימת את התנאי (*), אז לאחר לקיחת הגבול שבו רדיוס החלק המעגלי של המסילה R שואף לאינסוף, האינטגרל המסילתי לאורך C1 מתאפס לפי למת ז'ורדן ומתקבל ערך האינטגרל הלא אמיתי

 

דוגמהעריכה

הפונקציה

 

מקיימת את התנאי של למת ז'ורדן עבור כל R גדול מ-0 ושונה מ-1, והפרמטר a שלה הוא 1. נשים לב שבעבור R > 1,

 

ולכן התנאי (*) תופס. מכיוון שהקוטב היחידי של f בחצי המישור העליון הוא ב-z = i, היישום לעיל מניב

 

מכיוון ש-z = i הוא קוטב פשוט של f ו-(z2+1 = (z + i)(zi, מקבלים

 

כך ש-

 

תוצאה זו מדגימה את האופן שבו אינטגרלים שקשה לחשב בעזרת שיטות קלאסיות מחושבים בקלות בעזרת אנליזה מרוכבת.

הוכחת למת ז'ורדןעריכה

לפי הגדרת האינטגרל המרוכב הקווי נקבל

 

בעוד אי שוויון המשולש בגרסתו האינטגרלית

 

נותן

 

בעזרת שימוש בהגדרת MR כפי שמופיעה בניסוח של למת ז'ורדן ובסימטריה sin θ = sin(πθ), נקבל

 

מקעירות גרף הפונקציה sin θ באינטרוול θ ∈ [0, π ⁄ 2] נובע שהוא נמצא מעל הקו הישר שמחבר בין נקודות הקצה שלו (0,0) ו-(π ⁄ 2 ,1), ולפיכך

 

בעבור כל θ ∈ [0, π ⁄ 2], מה שגורר גם

 

ראו גםעריכה