מחלקה (תורת החבורות)

תורת החבורות
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה היא קבוצה של איברי חבורה אשר מתקבלת מהכפלת אברי באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה מהווה חלוקה של לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה בחבורה נקרא האינדקס של ב-, ומסומן . אם סופית, אינדקס זה שווה ל-.

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה ותת-החבורה שלה . הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא , והוא אינו סגור לכפל.

הגדרה פורמלית

עריכה

תהא   חבורה ותהא   תת-חבורה שלה. יהא   איבר כלשהו, אז הקבוצה   תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של   ב- , והקבוצה   תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של   ב- .

תכונות

עריכה

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה  , המחלקות (מאותו צד) של   מהוות חלוקה של   לקבוצות זרות.

הוכחה: אם   אז לפי הגדרה קיימים   כך ש-  ולכן  . מכיוון ש- , נובע ש- , ולכן  . הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של   מהוות חלוקה של  . לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה   שווה למספר האיברים ב- . במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות

עריכה

אם לתת חבורה מסוימת   מתקיים  , כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

עריכה

ניקח את החבורה  , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור.   היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:  . נציגים לדוגמה מהמחלקה   הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה   הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים

עריכה
  • מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)