מטריצה אנטי-סימטרית
בערך זה |
במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix)[1][2] היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי[3]:
במונחי הרכיבים של המטריצה, אם מציין את הערך בשורה ה־ ובעמודה ה־, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־
תכונות
עריכה- אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
- כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
- הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא .
- הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
- הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
- בפרט, אם היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית היא מטריצה הפיכה, כאשר היא מטריצת היחידה.
- אם היא מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
- מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.
שימושים
עריכהמכפלה וקטורית
עריכהניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים ו- , מוגדרת המטריצה:
ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור
ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.
הגדרת מטריצת סיבוב
עריכהבהינתן , וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב המתאימה תהיה:[4]
הכללות
עריכהערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.
ראו גם
עריכהלקריאה נוספת
עריכה- Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
- Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.
קישורים חיצוניים
עריכה- עליזה מלק - קורס אלגברה לינארית - מטריצה אנטי סימטרית, סרטון בערוץ "הטכניון", באתר יוטיוב
- "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
- Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
- Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran Fortran90
- מטריצה אנטי-סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
עריכה- ^ Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7.
- ^ התרגום המילולי לשם Skew-Symmetric Matrix לא נמצא בשימוש בעברית.
- ^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc, Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, McGraw-Hill. ., ספטמבר 2005, עמ' 38
- ^ F.Landis Markley, John L Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, עמ' 45