מטריצה אקראית

בתורת ההסתברות, מטריצה אקראית היא מטריצה שרכיביה הם משתנים מקריים בעלי התפלגות נתונה. מטריצות אקראיות משמשות מודל למערכות פיזיקליות חשובות, כמו קיבול החום של גבישים או ספקטרום הפליטה של גרעין האטום, ומשמשות לניתוח מערכות כאוטיות, ובכאוס קוונטי. בנוסף לשימושיהן בתחומים שונים בפיזיקה, יש למטריצות אקראיות שימושים בהסתברות, סטטיסטיקה, אנליזה נומרית, תורת האופרטורים, תורת המספרים האנליטית, כמו גם קשרים להשערת רימן.

התוצאה הבסיסית בתורת המטריצות האקראיות היא חוק חצי המעגל של ויגנר, שלפיו לערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית אקראית (כשלהתפלגות הרכיבים יש מומנטים מכל סדר ושחוץ מדרישת הסימטריה, הרכיבים בלתי תלויים) יש התפלגות שצורתה כחצי עיגול: אם בוחרים ערך עצמי אקראי $\ \lambda$ של מטריצה מסדר n, אז

$\ \lim _{n\rightarrow \infty }P(\lambda <t{\sqrt {n}})=\int _{-2}^{t}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}dx$.

במודל זה, הערכים העצמיים תלויים זה בזה, וההפרשים בין ערכים עצמיים סמוכים, שהם הרבה יותר קשים לניתוח, מצייתים להתפלגות ויגנר-דייסון.

מחקר המטריצה האקראית החל על ידי ג'ון וישהארט , שעסק באנליזת מידע, והמשיך אצל יוג'ין ויגנר במסגרת מחקרו על גרעין האטום באטומים כבדים. בראשית שנות ה-60 של המאה ה-20 פותחה תורה מתמטית, עצמאית משימוש ספציפי, של מטריצות אקראיות. אחד החוקרים הנודעים בתחום הוא הישראלי עפר זיתוני.

קישורים חיצוניים

• מטריצה אקראית, באתר MathWorld (באנגלית)
• מטריצות אקראיות, דף שער בספרייה הלאומית

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.