מרחב גאודזי – הבדלי גרסאות

בין הדוגמאות החשובות למרחבים גאודזיים - [[יריעת רימן]] [[מרחב שלם|שלמה]] (ובפרט כל [[משטח רימן]]); ו[[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] שבו מקצים על כל קשת מטריקה של קטע ממשי. כל [[מרחב מטרי שלם]] שבו לכל <math>x,y</math> יש נקודה <math>z</math> ביניהן (נקודה <math>z \neq x,y</math> כך ש-<math>d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)</math>), הוא גאודזי.

 

 

קיימות להגדרה גם וריאציות חזקות יותר, שבהן דורשים קיומה של איזומטריה מ[[הישר הממשי]], העוברת בכל זוג נקודות נתון. במרחבים כאלו אפשר להמשיך את הקטעים הגאודזים עד לאינסוף, לשני הכיוונים, ברוח ה[[גאומטריה אוקלידית#אקסיומות|אקסיומה השנייה]] של [[אוקלידס]]. במרחב גאודזי ממלאות המסילות הגאודזיות תפקיד דומה לזה של הקווים הישרים ב[[מרחב אוקלידי]], ואכן, המרחב האוקלידי (ביחס למטריקה הנורמית) הוא מרחב גאודזי, שבו הגאודזים הם הקווים הישרים.