|
ב[[טופולוגיה]], '''מספר לֶבֶּג''' הואשל [[מספרכיסוי]] ממשיפתוח של קבוצה ב[[מרחב מטרי]], חיוביהוא המהווההמספר תכונהδ שלהגדול ביותר שכל קבוצה ב[[כיסויקוטר]] הקטן ממנו, [[הכלה (תורת הקבוצות)|מוכלת]] באחד ממרכיבי הכיסוי. לפי '''הלמה של לבג''', לכל כיסוי פתוח של [[קבוצה קומפקטית]] ביש מספר לבג חיובי ממש. את הלמה הוכיח ה[[מרחבמתמטיקה|מתמטיקאי]] מטרי[[אנרי לבג]].
'''הלמה של לבג''', שקרויה על שם ה[[מתמטיקה|מתמטיקאי]] [[אנרי לבג]], אומרת שבהינתן כיסוי פתוח לקבוצה קומפקטית במרחב מטרי, קיים מספר חיובי δ כך שכל קבוצה ש[[קוטר|קוטרה]] קטן מ־δ [[הכלה (תורת הקבוצות)|מוכלת]] לגמרי באחת הקבוצות שמהוות את הכיסוי. מספר זה (שאינו יחיד) נקרא '''מספר לבג''' של הכיסוי. ברור שכל מספר חיובי קטן מ־δ מקיים גם הוא את התנאי, ולכן גם הוא מספר לבג של הכיסוי.
==הוכחה==
תהא <math>X</math> קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא <math>\mathcal A</math> כיסוי פתוח של <math>X</math>.
מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי. נסמן אותו <math>\{A_1, \dots, A_n\} \subseteq \mathcal A</math>
לכל <math>i \in \{1, \dots, n\}</math>, נגדיר <math>C_i := X \setminus A_i</math>,
וכן נגדיר פונקציה <math>f : X \rightarrow \mathbb R</math> כך:
<math>f(x) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d(x,C_i)</math> (כאן d מסמן את ה[[מטריקה|מרחק]] בין נקודה לקבוצה. מרחק זה יכול גם להיות 0)
כיוון ש <math>\mathcal A</math> הוא כיסוי, לכל נקודה <math>x \in X</math> יש אינדקס '''i''' כך ש <math>x \in A_i</math>.
כיוון ש<math>A_i</math> קבוצה פתוחה, הרי שקיים ε > 0 כך שה־[[סביבה (מתמטיקה)|ε-סביבה]] של <math>x</math> מוכלת ב <math>A_i</math>.
מכאן, <math>d(x,C_i) \ge \epsilon</math>, ולכן <math>f(x) \ge \frac{\epsilon}{n}</math>, כלומר הפונקציה חיובית עבור כל <math>x \in X</math>.
תהא <math>X</math> קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא <math>\mathcal A</math> כיסוי פתוח של <math>\,X</math>. מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי. נסמן אותו ב-<math>\{A_1, \dots, A_n\} \subseteq \mathcal A</math>. לכל <math>i \in \{1, \dots, n\}</math>, נגדיר <math>\, C_i := X \setminus A_i</math>; אלו קבוצות סגורות. נגדיר פונקציה <math>f : X \rightarrow \mathbb R</math> לפי הנוסחה <math>f(x) := \sum_{i=1}^n d(x,C_i)</math> (כאן d מסמן את המרחק בין הנקודה לקבוצה. מרחק זה יכול גם להיות 0).
אבל <math>f(x) \ </math> [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] על קבוצה קומפקטית, ולכן מקבלת את [[חסם (מתמטיקה)|המינימום]] שלה על קבוצה זו. מינימום זה הוא מספר לבג של הכיסוי.
כיוון ש-<math>\mathcal A</math> הוא כיסוי, לכל נקודה <math>x \in X</math> יש אינדקס '''i''' כך ש <math>x \in A_i</math>. כיוון ש<math>A_i</math> קבוצה פתוחה, הרי שקיים ε > 0 כך שה־[[סביבה (מתמטיקה)|ε-סביבה]] של <math>x</math> מוכלת ב <math>A_i</math>, ואז <math>\ f(x) \geq d(x,C_i) \ge \epsilon</math>. בפרט, הפונקציה <math>\,f(x)</math> לעולם אינה מתאפסת. אבל זוהי [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] על קבוצה קומפקטית, ולכן היא מקבלת שם [[חסם (מתמטיקה)|מינימום]]. מינימום זה הוא חסם תחתון למספר לבג של הכיסוי.
{{קצרמר|מתמטיקה}}
| 