שארית ריבועית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קצת תוספות |
←תכונות בסיסיות: תוספת נוספת |
||
שורה 15:
אם <math>\ a\equiv x^2\pmod{p}</math>, אז <math>\ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv x^{p-1} \equiv 1\pmod{p}</math> לפי [[משפט לגרנז']], מכיוון ש[[סדר (תורת החבורות)|סדרה]] של חבורת אוילר הוא p-1. בכך הוכחנו שאם אגף ימין שווה ל- 1, אז כך גם אגף שמאל. מצד שני, לכל מספר שונה מאפס בשדה שיש לו שורש ריבועי, יש בדיוק שניים. זה מוכיח שיש <math>\ \frac{p-1}{2}</math> שאריות ריבועיות, אבל למשוואה <math>\ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1</math> לא יכולים להיות יותר מ- <math>\ \frac{p-1}{2}</math> שורשים; מכאן שכל השורשים הם שאריות ריבועיות. כדי לסיים את ההוכחה מספיק להבחין ש- <math>\ (a^{\frac{p-1}{2}})^2 = a^{p-1} \equiv 1</math> כמקודם, ולכן אגף שמאל שווה תמיד לפלוס או מינוס 1; מכאן שהוא שווה למינוס 1 עבור השאריות שאינן ריבועיות.
'''מסקנה'''. <math>\ \left(\frac{-1}{p}\right)\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}</math>. כלומר, 1- הוא שארית ריבועית מודולו p אם <math>\ p\equiv 1 \pmod{4}</math>, ואינו שארית ריבועית כאשר <math>\ p \equiv -1 \pmod{4}</math>.
מתוצאה זו נובע (בעזרת שיטת ה[[נסיגה אינסופית|נסיגה האינסופית]] שפיתח [[לאונרד אוילר|אוילר]]) שניתן להציג כל מספר ראשוני מן הסוג הראשון, כסכום של שני ריבועים (למשל, <math>\ 73=8^2+3^2</math>). עובדה זו קובעת את הפירוק לראשוניים ב[[חוג השלמים של גאוס]], והיא מדגימה את הקשר בין שאריות ריבועיות, [[תבניות ריבועיות]] בינארית, ופירוק לראשוניים בחוג שלמים של [[שדה מספרים]] [[הרחבה ריבועית|ריבועי]].
'''משפט'''. אם p ראשוני איזוגי ו- a,b שלמים כלשהם, אז <math>\ \left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math>.
| |||