אינוולוציה (תורת החוגים) – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החוגים]], '''אינוולוציה''' על [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] R היא אנטי-[[אוטומורפיזם]] מסדר 2, כלומר העתקה <math>\ \sigma : R \rightarrow R</math> המקיימת את התכונות הבאות: <math>\ \sigma(x+y) = \sigma(x)+\sigma(y)</math>, <math>\ \sigma(xy) = \sigma(y)\sigma(x)</math>, ו- <math>\ \sigma\sigma(x)=x</math> לכל x,y בחוג.

 

==אינוולוציות של אלגברות פשוטות==

 

 

כאשר R [[אלגברה פשוטה]] המרכז שלה הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. ממיינים את האינוולוציות לשני סוגים, לפי הפעולה שלהם על המרכז:

* ו'''מסוג שני''' אם הפעולה על המרכז אינה טריוויאלית; במקרה זה יש למרכז תת-שדה, ממימד 2, שהפעולה עליו טריוויאלית.

 

 

מאינוולוציה נתונה אפשר ליצור אינוולוציות חדשות: אם <math>\ x\mapsto x^*</math> אינוולוציה של R, אז לכל <math>\ u\in R</math> הפיך, <math>\ x \mapsto u x^*u^{-1}</math> היא אנטי-אוטומורפיזם , וזו אינוולוציה אם <math>\ u^*u^{-1}</math> הוא איבר מרכזי. כשהאינוולוציה מסוג ראשון, התנאי הזה מכריח את u להיות סימטרי או אנטי-סימטרי. מעובדה זו נובע שכל אינוולוציה מסוג ראשון של אלגברת המטריצות צמודה לאחת משתי אינוולוציות: השחלוף ("האינוולוציה האורתוגונלית" של המטריצות), ו[[האינוולוציה הסימפלקטית]] (הקיימת רק בממד זוגי). בעקבות כך אפשר למיין את האינוולוציות מסוג ראשון של אלגברה מדרגה סופית לשני טיפוסים, לפי התנהגות האינוולוציה לאחר [[הרחבת סקלרים]] ל[[שדה פיצול]]: האינוולוציה היא '''מטיפוס אורתוגונלי''' אם היא נעשית אורתוגונלית, ו'''מטיפוס סימפלקטי''' אם היא נעשית סימפלקטית. אינוולוציה מסוג שני נקראת תמיד '''מטיפוס אוניטרי'''. (מטריצה המקיימת את התנאי <math>\ u^*u=1</math> נקראת [[מטריצה אורתוגונלית|אורתוגונלית]] עבור האינוולוציה האורתוגונלית, ו[[מטריצה אוניטרית|אוניטרית]] עבור האינוולוציה האוניטרית).