עקום אליפטי – הבדלי גרסאות

לרוב לוקחים את העקום להיות קבוצת כל הנקודות (''y'',''x'') אשר מקיימות את המשוואה לעיל , וכך שגם ''x'' וגם ''y'' הם אלמנטים [[סגור אלגברי של שדה|בסגור האלגברי]] של ''K''. נקודה של העקום אשר שתי הקואורדינטות שלה שייכות ל-''K'' נקראת נקודה ''K''-רציונלית.

על ידי הוספת נקודה "באינסוף", אנו משיגים את הגרסה הפרויקטיבית של עקום זה. אם ''P'' ו''Q'' הן שתי נקודות על העקום, הרי שקיימת נקודה שלישית אחת ויחידה אשר מהווה את החיתוך בין העקום לבין הקו הישר העובר בין ''P'' ל-''Q''. אם הקו הישר משיק לעקום בנקודה כלשהי, הרי שנקודה זו נספרת פעמיים, ואם הקו הישר מקביל לציר ה-''y'', אנו מגדירים את הנקודה השלישית "באינסוף". בדיוק אחד מן המצבים הללו מתקיים לכל זוג של נקודות על עקום אליפטי.

אנו מתייחסים לנקודת האינסוף כאפס, כלומר כאיבר הזהות של הקבוצה; אם קו ישר חוצה את העקום ב3ב-3 נקודות ''P'', ''Q'' ו''R'', אנו נדרוש כי יתקיים ''P'' + ''Q'' + ''R'' = 0. ניתן לבדוק כי הגדרה זו הופכת את העקום ל[[חבורה אבלית]], ובכך גם ל[[יריעה אבלית]]. כמו כן, ניתן להראות שקבוצת הנקודות ה-''K''-רציונליות, כולל נקודת האינסוף, יוצרים [[תת חבורה]] של חבורה זו. אם נסמן את העקום ב-''E'', הרי שנוהגים לרשום את העקום כ <math>E\left( K \right)</math>.

את החבורה הזו ניתן לתאר הן בצורה אלגברית והן בצורה גאומטרית. בהינתן העקום <math>y^2_{} = x^3 - p\cdot x - q</math> מעל השדה ''K'' (אשר המאפיין שלו שונה מ2מ-2 ו3ו-3), ונקודות <math>P=\left(x_P, y_P\right)</math> ו-<math>Q=\left(x_Q, y_Q\right)</math> על העקום, נניח תחילה כי <math> x_{P} \neq x_{Q} </math>. יהי <math>s = \frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}</math>. כיוון ש-''K'' שדה, ''s'' מוגדר היטב. לכן נוכל להגדיר <math> R = P + Q = \left( x_R , y_R \right)</math> על ידי: