חוג מקומי – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החוגים]], '''חוג מקומי''' הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] (בדרך כלל - קומוטטיבי) שיש לו [[אידאל מקסימלי]] יחיד. חוגים מקומיים נקראים כך משום שהם מאפשרים לחקור מרחבים באופן מקומי, בסביבת נקודה. אחד המקורות החשובים לחוגים כאלה הוא תהליך ה[[מיקום]] של חוג קומוטטיבי נתון ביחס ל[[אידאל ראשוני]] של אותו חוג. כל [[תחום הערכה]] הוא מקומי. לחוג קומוטטיבי מקומי תורת הצגות פשוטה בתכלית: יש לו מודול פשוט יחיד ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] איזומורפיזם), וכל [[מודול פרוייקטיביפרויקטיבי]] הוא [[מודול חופשי|חופשי]]<ref>Kaplansky's theorem</ref>.

כל חוג מהצורה <math>\ R/M^n</math>, כאשר M אידיאלאידאל מקסימלי של R, הוא מקומי.

ישנם מקורות (ובפרט בכתבי [[בורבקי]]) שבהם המושג "חוג מקומי" מתייחס לחוג שהוא מקומי ו[[חוג נתרי|נתרי]] (ואז חוג מקומי סתם נקרא "קוואזי-מקומי"). אכן, החוגים המקומיים המופיעים ב[[גאומטריה אלגברית]] הם כמעט תמיד נתריים. לחוגים מקומיים נתריים יש כמה תכונות חשובות: [[וולפגנג קרול]], שהיה הראשון שחקר חוגים מקומיים, הוכיח ש- <math>\ \cap M^i = 0</math>, כאשר M הוא האידיאלהאידאל המקסימלי היחיד. לחוגים מקומיים נותריים יש [[ממד קרול]] סופי, נאמר n, ואז יש אברים <math>\ x_1,\dots,x_n</math> בחוג כך שה[[רדיקל של אידיאלאידאל|רדיקל]] של <math>\ \sum R x_i</math> הוא האידיאלהאידאל המקסימלי, M.

חוג מקומי נתרי הוא '''[[חוג מקומי רגולרי|רגולרי]]''', אם אפשר ליצור באמצעות <math>\ n = \operatorname{Kdim}(R)</math> יוצרים את האידיאלהאידאל המקסימלי עצמו. תכונה זו שקולה לכך שהממד של <math>\ M/M^2</math> (כ[[מרחב וקטורי]] מעל שדה השאריות <math>\ k=R/M</math>) שווה ל-n; וגם לכך שהחוג המדורג <math>\ \oplus_{i=0}^{\infty} M^i/M^{i+1}</math> איזומורפי לחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל k.

כמה משפחות חשובות נוספות של חוגים מקומיים נתריים הן [[חוג בעל חיתוך שלם|חוגים בעלי חיתוך שלם]] (זהו חוג מקומי רגולרי, מודולו אידיאלאידאל שלו הנוצר על- ידי "סדרה רגולרית"); [[חוג גורנשטיין|חוגי גורנשטיין]] (חוגים מקומיים נתריים בעלי ממד אינג'קטיבי סופי); ו[[חוג כהן-מקולי|חוגי כהן-מקולי]] מקומיים (חוגים מקומיים נתריים שבהם יש לאידיאללאידאל המקסימלי סדרה רגולרית באורך השווה לממד קרול של החוג). כל חוג מקומי רגולרי הוא בעל חיתוך שלם; כל חוג בעל חיתוך שלם הוא גורנשטיין; וכל חוג גורנשטיין הוא כהן-מקולי.

חוג מקומי (קומוטטיבי) ארטיני R, עם אידיאלאידאל מקסימלי N, הוא ראשי (כלומר, כל האידיאליםהאידאלים שלו ראשיים) אם ורק אם N עצמו ראשי. במקרה זה, כל עוד המנה אינה מתאפסת, הממד של כל <math>N^{i}/N^{i+1}</math> מעל שדה השאריות <math>F = R/N</math> הוא 1. את הסיעוף של R מודד המספר e, כאשר <math>pR = N^e</math>; החוג נקרא מסועף אם e>1.

חוג מקומי ארטיני ראשי R הוא מנה של [[תחום הערכה דיסקרטית]] שלם, W, ויתרה מזו, R אינו מסועף אם ורק אם W אינו מסועף. אם המאפיין של R שווה לזה של F, אז <math>R = F[x]/\langle x^s \rangle</math> עבור s מתאים. אחרת, המאפיין של F חיובי, ואז קיים חוג הערכה דיסקרטית שלם לא מסועף יחיד V ששדה השאריות שלו הוא F; במקרה זה <math>R = V[x]/\langle x^s,f(x)\rangle</math> כאשר <math>f(x) \in V[x]</math> הוא [[קריטריון אייזנשטיין|פולינום אייזנשטיין]]. אם R מסועף באופן מבוייתמבוית (כלומר <math>e>1</math> אבל אינו מתחלק במאפיין p של F) אפשר לדייק יותר: <math>R = V[x]/\langle x^m-pa,x^s\rangle</math>, כאשר <math>a \in V^{\times}</math> והתמונה של a ב-F יחידה עד-כדי כפל בחזקת-m והפעלה של [[אוטומורפיזם]] של F.

חוג לא קומוטטיבי נקרא מקומי אם יש לו אידיאלאידאל שמאלי מקסימלי יחיד; במקרה זה, יש לו גם אידיאלאידאל ימני מקסימלי יחיד, ואידיאלואידאל מקסימלי זה הוא חד-צדדי. לכן יש לחוג אידיאלאידאל מקסימלי יחיד. חוג המנה ביחס אליו הוא [[חוג עם חילוק]]. משפט קפלנסקי (כל מודול פרוייקטיביפרויקטיבי הוא חופשי) מתקיים גם לחוגים מקומיים לא קומוטטיביים.