|
'''גאומטריה לא־אוקלידית''' היא תורה גאומטרית, שבה מתקבלות תוצאות שונות מה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה של אוקלידס]], על ידי שינוי חלק מה[[אקסיומה|אקסיומות]] שבבסיסה.
לאקסיומההגאומטריה זוהאוקלידית, שהיאהמוגדרת החמישיתעל-ידי ביןהאקסיומות [[גאומטריה אוקלידית|אקסיומות הגאומטריה]] שבספרו שלשתאר [[אוקלידס]] , "ב[[יסודות (ספר)|יסודות]] ", מבנהנחשבה מורכבמאות באופןבשנים חריגלגאומטריה לעומתהמתארת שאראת הטבע. עם זאת, האקסיומה החמישית של אוקלידס, [[אקסיומת המקבילים]], מורכבת ביחס לשאר האקסיומות , והיא נתפסה כפחות טבעית. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]]. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית [[המאה ה-19]] נעשתה פריצת דרך בנושא, כאשרהבינו מתמטיקאים אחדים הבינו שנדרש כיוון שונה. ▼גאומטריות לא־אוקלידיות נוצרו כפתרון לבעיה שהעסיקה את ה[[מתמטיקאי]]ם במשך מאות שנים: הנסיון להוכיח את [[אקסיומת המקבילים]].
▲לאקסיומה זו, שהיא החמישית בין [[גאומטריה אוקלידית|אקסיומות הגאומטריה]] שבספרו של [[אוקלידס]], "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", מבנה מורכב באופן חריג לעומת שאר האקסיומות. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]]. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית [[המאה ה-19]] נעשתה פריצת דרך בנושא, כאשר מתמטיקאים אחדים הבינו שנדרש כיוון שונה.
[[קובץ:Noneuclid-he.svg|שמאל|ממוזער|250px|התנהגותם של קווים בעלי [[אנך]] משותף בגאומטריות שונות]]
לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל [[גאומטריה]] שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]], שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19, הגיעו לרעיון, באופן בלתי תלוי, המתמטיקאי הרוסי [[ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי]] וקצין הצבא ההונגרי [[יאנוש בויאי]]. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, ה'''[[גאומטריה היפרבולית|גאומטריה ההיפרבולית]]''', אומרת שדרך [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] מחוץ ל[[ישר]] עוברים [[אינסוף]] [[ישרים מקבילים]] לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, ה'''[[גאומטריה פרויקטיבית|גאומטריה הפרויקטיבית]]''' וה'''[[גאומטריה כדורית|גאומטריה הכדורית]]''', שאותן פיתח [[ברנרד רימן]], תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.
מאוחר יותר פיתח רימן את '''[[גאומטריה רימנית|הגאומטריה הרימנית]]''' שמכלילה את כל הגאומטריות הנ"ל והניחה את היסודות לתחום הנקרא '''[[גאומטריה דיפרנציאלית]]''', המטפל בין השאר ב[[יריעה|יריעות]] בעלות [[עקמומיות]] משתנה. ב-[[1868]] נעזר [[אוגניו בלטרמי]] {{אנ|Eugenio Beltrami}} בשיטה הכללית של רימן כדי לבנות מודלים לגאומטריה ההיפרבולית. בשנות השבעים של המאה ה-19 חיבר [[אנרי פואנקרה]] את הרעיונות האלה אל הנושאים המרכזיים במתמטיקה של תקופתו, והפך אותם לכלי חיוני ב[[תורת המספרים האנליטית]].
באורחעד פלאסוף התבררהמאה כעבורה-19 שנים לא רבותהתברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס ל[[מכניקה]] של [[אייזק ניוטון]], כך מהווה הגאומטריה הדיפרנציאלית (שמאפשרת מרחב לא-אוקלידי) המיושמת על [[יריעה פסאודו-רימנית]] (כלומר: יריעה בה [[הטנזור המטרי]] לא [[מטריצה חיובית|חיובי לחלוטין]]) בסיס ל[[תורת היחסות הכללית]], והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את ה[[מרחב-זמן]].
==עקביות הגאומטריה הלא-אוקלידית==
|
