משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ סקריפט החלפות (על ידי) |
|||
שורה 83:
=== משוואות לינאריות אי-הומוגניות מסדר שני ===
[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] אי-הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)</math> כאשר <math>r(x)\not\equiv 0</math>. בניגוד למשוואות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו אינם בהכרח פתרונות בעצמם (למעשה ניתן להראות שאם <math>\ y_1(x)</math> ו-<math>\ y_2(x)</math> הם פתרונות של המשוואה אז <math>\ ay_1(x)+by_2(x)</math> הוא גם כן פתרון אם ורק אם מתקיים <math>\ a+b=1</math> ). פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לינארית אי-הומוגנית מסדר שני מתקבל בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה <math>r(x)\equiv 0</math>)
==משוואות מסדר n==
שורה 92:
[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] הומוגנית מסדר <math>\ n</math> היא משוואה מהצורה <math>\ y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)</math>. כאשר <math>\ b(x)\equiv 0</math> המשוואה היא הומוגנית וכאשר <math>\ b(x)\not\equiv 0</math> המשוואה היא לא הומוגנית (או אי-הומוגנית).
ניתן להכליל את השיטות שבהם משתמשים כדי לפתור משוואה לינארית מסדר שני כך שיוכלו לשמש לפתרון משוואות מסדר <math>\ n</math>. בדומה למשוואות לינאריות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה לינארית הומוגנית מסדר <math>\ n</math> הם פתרונות בעצמם. כמו כן, בדומה למשוואות לינאריות אי-הומוגניות מסדר שני, גם במקרה הכללי (של משוואות מסדר <math>\ n</math>) ניתן לקבל את הפתרון הכללי של המשוואה הלינארית האי-הומוגנית
(המשוואה שבה <math>\ b(x)\equiv 0</math>) כאשר את הפתרון הפרטי למשוואה האי-הומוגנית מוצאים בשיטות דומות לאלו שמשתמשים בהם במקרה של משוואה מסדר שני.
| |||