ויקיפדיה

שבר (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
←‏שבר עשרוני: העברה לערך מורחב
אין תקציר עריכה
שורה 1:
[[תמונה:PieChartFraction threeFourths oneFourth-colored differently.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת עוגה|תרשים עוגה]], להמחשה ויזואלית של שבר. שלושה-רבעים מהעוגה צבועים בירוק, ורבע אחד בכתום.]]
ב[[מתמטיקה]] אלמנטרית, '''שבר''' הוא [[מספר]] המוצג כ[[חילוק]] של [[מספר שלם]] אחד במספר שלם שני (שאיננו [[0 (מספר)|0]]). לשבר יש את הצורה <math>m\over tfrac{m}{n}</math>, כאשר n, m הם מספרים שלמים, ו-n איננו 0.
 
מספר ([[מספר ממשי|ממשי]] או [[מספר טבעי|טבעי]]) הניתן להצגה כשבר נקרא [[מספר רציונלי]].
 
דוגמה: המספרים <math>\tfrac{1\over }{2}</math>, <math>\tfrac{4\over }{3}</math> הם שברים.
 
==מונחים בשבר פשוט==
 
הקו המפריד בין שני המספרים היוצרים את השבר קרוי '''קו השבר''', המספר שמעליו קרוי '''מונה''', והמספר שמתחתיו קרוי '''מכנה'''. לעתים מחליף את קו השבר הסימן <math>\!\, /</math>, והשבר נרשם בצורה <math>\!\,m/n</math>.
 
מקובלת הבחנה בין שני סוגים של שברים:
* '''שבר אמיתי''': שבר שבו המונה קטן מהמכנה. שבר כזה גדול מ-[[0 (מספר)|0]] וקטן מ-[[1 (מספר)|1]].
* '''שבר מדומה''': שבר שבו המונה גדול מהמכנה או שווה לו.
 
מספר המורכב משלם ושבר קרוי '''מספר מעורב'''.
 
כאשר למונה ולמכנה יש גורם משותף, זהו שבר שאינו מצומצם. ניתן לצמצם את השבר באמצעות חלוקת המונה והמכנה בגורם המשותף שלהם, ולקבל '''שבר מצומצם'''. דוגמה: <math>\tfrac{6\over }{12}</math> אינו שבר מצומצם, אך אם נחלק את המונה והמכנה ב-6 נקבל את השבר המצומצם <math>\tfrac{1\over }{2}</math>, השווה בערכו לשבר המקורי.
 
==שבר יסודי==
'''[[שבר יסודי]]''' (ידוע גם כ'''שבר יחידה''', או '''שבר אוניטרי''' מהמונח האנגלי unit fraction) הוא [[מספר רציונלי]] הנכתב בצורת שבר שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא [[מספר טבעי]]. שבר יסודי הוא לפיכך ה[[מספר הופכי|הופכי]] של מספר טבעי, וצורתו <math>\ \displaystyle tfrac{1\,\,} \over {n}</math>. דוגמאות לשבר יסודי הן <math>\ {\fractfrac{1}{1}= 1}</math>, <math>\ \fractfrac{1}{2}</math>, <math>\ \fractfrac{1}{3}</math>, <math>\ \fractfrac{1}{42}</math>, וכיוצא באלה.▼
 
כל מספר רציונלי <math>\ \fractfrac{m}{n}</math> ניתן לייצוג כסכום של שברים יסודיים (לעתים בכמה אופנים).▼
▲'''[[שבר יסודי]]''' (ידוע גם כ'''שבר יחידה''', או '''שבר אוניטרי''' מהמונח האנגלי unit fraction) הוא [[מספר רציונלי]] הנכתב בצורת שבר שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא [[מספר טבעי]]. שבר יסודי הוא לפיכך ה[[מספר הופכי|הופכי]] של מספר טבעי, וצורתו <math>\ \displaystyle {1\,\,} \over n</math>. דוגמאות לשבר יסודי הן <math>\ {\frac{1}{1}= 1}</math>, <math>\ \frac{1}{2}</math>, <math>\ \frac{1}{3}</math>, <math>\ \frac{1}{42}</math>, וכיוצא באלה.
 
== שבר מדומה ==▼
▲כל מספר רציונלי <math>\ \frac{m}{n}</math> ניתן לייצוג כסכום של שברים יסודיים (לעתים בכמה אופנים).
'''שבר מדומה''' הוא שבר פשוט ש[[ערך מוחלט|ערכו המוחלט]] שווה ל–1 או גדול ממנו. למשל, <math>\fractfrac{3}{2}</math>, <math>\fractfrac{2}{2}</math> או <math>-\fractfrac{2}{2}</math>. בשבר המדומה ערכו המוחלט של המונה גדול או שווה לערכו המוחלט של המכנה. שבר מדומה נקרא בעברית בשם זה, כי נדמה שהוא שבר, אך למעשה אפשר לפרק אותו כסכום של שלם ושבר.▼
 
▲== שבר מדומה ==
 
▲'''שבר מדומה''' הוא שבר פשוט ש[[ערך מוחלט|ערכו המוחלט]] שווה ל–1 או גדול ממנו. למשל, <math>\frac{3}{2}</math>, <math>\frac{2}{2}</math> או <math>-\frac{2}{2}</math>. בשבר המדומה ערכו המוחלט של המונה גדול או שווה לערכו המוחלט של המכנה. שבר מדומה נקרא בעברית בשם זה, כי נדמה שהוא שבר, אך למעשה אפשר לפרק אותו כסכום של שלם ושבר.
 
באנגלית נקרא השבר המדומה Improper fraction, כלומר "שבר לא תקין". אותה משמעות יש גם למונח הגרמני. בסינית השם הוא "שבר מזויף". המונח העברי אינו מרמז על תכונה שלילית של השבר המדומה (או על קשר כלשהו ל[[מספר מדומה]]), אלא רק על כך שמאחוריו חבוי משהו אחר.
 
=== הפיכת שבר מדומה למספר מעורב ===
כאמור, שבר מדומה נקרא כך כי אפשר לשנות את צורתו, ולמצוא בו שלמים. אם מחלצים משבר מדומה את כל השלמים שבו מתקבל מספר מעורב. למשל <math>\fractfrac{22}{7}</math> אפשר לכתוב גם כ- <math>3\tfrac{1}{7}</math>. האלגוריתם לביצוע המעבר הזה הוא פשוט חילוק: ▼
 
למשל <math>\fractfrac{22}{7}</math> הופכים למספר מעורב על -ידי ביצוע פעולת החילוק 22:7, מה שנותן 3 עם שארית 1. מכיוון שכדי להשלים את פעולת החילוק יש לחלק גם את השארית ב-7, מתקבל <math>3\tfrac{1}{7}</math>.▼
▲כאמור, שבר מדומה נקרא כך כי אפשר לשנות את צורתו, ולמצוא בו שלמים. אם מחלצים משבר מדומה את כל השלמים שבו מתקבל מספר מעורב. למשל <math>\frac{22}{7}</math> אפשר לכתוב גם
כ- <math>3\frac{1}{7}</math>. האלגוריתם לביצוע המעבר הזה הוא פשוט חילוק:
▲למשל <math>\frac{22}{7}</math> הופכים למספר מעורב על ידי ביצוע פעולת החילוק 22:7, מה שנותן 3 עם שארית 1. מכיוון שכדי להשלים את פעולת החילוק יש לחלק גם את השארית ב-7,
מתקבל <math>3\frac{1}{7}</math>.
 
===הפיכת מספר מעורב לשבר מדומה===
כדי להפוך את <math>3\tfrac{1}{7}</math> לשבר מדומה יש להכפיל את המכנה-(7) במספר היחידות-(3)=21 ולהוסיף את השבר-(<math>\tfrac{1}{7}</math>). המספר
 
כדי להפוך את <math>3\fractfrac{1}{7}</math> הוא לשבר מדומה יש להכפיל את המכנה-(7) במספר היחידות-(3)=21 ולהוסיף את השבר-(<math>\frac{1}{7}+21</math>). המספרשביעיות, כלומר <math>3\fractfrac{122}{7}</math>.
הוא <math>1+21</math> שביעיות, כלומר <math>\frac{22}{7}</math>.
 
==שוויון בין שברים==
בין שני שברים, <math>\ \fractfrac{a}{b}</math> ו-<math>\ \fractfrac{c}{d}</math> מתקיים [[שוויון (מתמטיקה)|שוויון]] [[אם ורק אם]] <math>\ a \cdot d = b \cdot c </math>.
 
הכפלה של המונה והמכנה של שבר נתון במספר שלם שונה מ-[[0 (מספר)|0]] אינה משנה את ערכו. בנוסחה
:<math>\ \fractfrac{a}{b}=\fractfrac{c \cdot a}{c \cdot b}</math>, לכל <math>\ c \ne 0 </math> שלם.
 
==[[ארבע פעולות החשבון]] בשברים==
===חיבור וחיסור===
כדי [[חיבור|לחבר]] שני שברים, יש להביאם ל[[מכנה משותף]], ותוצאת החיבור היא סכום המונים של השברים (לאחר הבאתם למכנה משותף) מחולק במכנה המשותף. המכנה המשותף המיידי הוא מכפלת שני המכנים. בנוסחה:
:<math>\ \fractfrac{a}{b}+\fractfrac{c}{d}=\fractfrac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}</math>
 
דוגמה:
:<math>\ \fractfrac{1}{6}+\fractfrac{5}{21}=\fractfrac{7+10}{42}=\fractfrac{17}{42}</math>.
 
ב[[חיסור]] השיטה זהה, כשפעולת החיבור מוחלפת בפעולת החיסור. בנוסחה:
:<math>\ \fractfrac{a}{b}-\fractfrac{c}{d}=\fractfrac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}</math>
 
דוגמה:
:<math>\ \fractfrac{1}{6}-\fractfrac{5}{21}=\fractfrac{7-10}{42}=\fractfrac{-3}{42}=-\fractfrac{1}{14}</math>.
 
===כפל===
 
[[כפל]] של שני שברים זה בזה שווה למכפלת המונים חלקי מכפלת המכנים. בנוסחה:
:<math>\ \fractfrac{a}{b} \cdot \fractfrac{c}{d}=\fractfrac{a \cdot c}{b \cdot d}</math>
 
דוגמה:
:<math>\ \fractfrac{2}{6} \cdot \fractfrac{5}{7}=\fractfrac{2 \cdot 5}{6 \cdot 7}=\fractfrac{10}{42}=\fractfrac{5}{21}</math>.
 
===חילוק===
[[חילוק]] של שבר א' בשבר ב' שווה למכפלה של שבר א' ב[[מספר הופכי|הופכי]] של שבר ב'. בנוסחה:
:<math>\ \fractfrac{a}{b} \div \fractfrac{c}{d}=\fractfrac{a}{b} \cdot \fractfrac{d}{c}=\fractfrac{a \cdot d}{b \cdot c}</math>
 
דוגמה:
:<math>\ \fractfrac{2}{3} \div \fractfrac{5}{7}=\fractfrac{2}{3} \cdot \fractfrac{7}{5}=\fractfrac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\fractfrac{14}{15}</math>.
 
==שבר עשרוני==
{{ערך מורחב|שבר עשרוני}}
הצגה אחרת של שברים נעשית באמצעות '''שבר עשרוני'''. השבר הפשוט, <math>\tfrac{1\over }{2}</math>, למשל, מוצג בצורה 0.5 כ'''שבר עשרוני'''. הנקודה המפרידה בין שני חלקיו של שבר הרשום בצורה כזו קרויה '''[[נקודה עשרונית]]'''. משמאל לה נרשם חלקו השלם של המספר, ומימין לה נרשם חלק השבר של המספר. את הנקודה העשרונית, כפי שאנו מכירים אותה, הציג המתמטיקאי הסקוטי [[ג'ון נפייר]] בשנת [[1617]]. בצורת רישום זו נשמרת שיטת הספירה העשרונית. על-כן, הספרה הראשונה מימין לנקודה מציינת כמות עשיריות, הספרה משמאל לה את כמות המאיות וכך הלאה.
 
כל [[מספר רציונלי]], כלומר כל מספר הניתן להצגה כמונה חלקי מכנה, ניתן להצגה כשבר עשרוני בעל מספר ספרות סופי של ספרות או כ[[שבר מחזורי]].
 
ייצוג מספרים בשיטה זו, שבה נקודה מפרידה בין החלק השלם לחלק השבר של המספר, אפשרי בכל [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]], ולאו דווקא בבסיס עשרוני. המספר 10.1 ב[[בסיס בינארי]], למשל, שקול ל-2.5 ב[[השיטה העשרונית|בסיס עשרוני]].
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/שבר_(מתמטיקה)"