הבדלים בין גרסאות בדף "הצגה ליניארית"

נוספו 834 בתים ,  לפני 4 שנים
עריכה והרחבה
מ (הסבת תבנית:עוגן2*)
(עריכה והרחבה)
 
== הקרקטר של הצגה מממד סופי ==
 
אם <math>\ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}_n(F)</math> היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה <math>\ \chi(g) = \operatorname{tr}(\pi(g))</math> המוגדרת לפי חישוב ה[[עקבה (אלגברה לינארית)|עקבה]] של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא ה'''[[קרקטר (תורת החבורות)|קרקטר]]''' (character) של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של '''הצגה חד-ממדית''' שווה להצגה עצמה.
 
 
באופן דומה, אם g,h הם שני אברים צמודים בחבורה, דהיינו <math>\ h=xgx^{-1}</math> עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.
 
== הצגות של חבורה סופית ==
 
כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית, ידוע שיש לה רק מספר סופי של הצגות ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שקילות); מספר ההצגות שווה למספר [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת '''[[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]]''' של החבורה.
 
הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי [[משפט איטו]], אם A תת-חבורה אבלית [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]], אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את ה[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] <math>\ [G:A]</math>. סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות שווה לסדר החבורה.
 
== הצגות ואלגברת החבורה ==
יש התאמה מלאה בין הצגות של חבורה <math>G</math> אל מרחבים וקטוריים מעל לשדה <math>F</math> לבין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] מעל [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] <math>F[G]</math>, הנתונה על ידי הגדרת הפעולה <math>g \cdot v = \rho (g) (v)</math>. לכן יש גם התאמה אל ה[[הצגה (אלגברה)|הצגות]] של אלגברת החבורה. תחת התאמה זו, הצגות [[הצמדה (תורת החבורות)|צמודות]] עוברות אל מודולים איזומורפיים, סכום של העתקות עובר אל [[סכום ישר]] של מודולים, וההצגה הרגולרית (השיכון בעזרת חבורת הסימטריה) עוברת אל <math>F[G]</math> כמודול מעל עצמו.
 
לפי [[משפט משקה]], אם <math>G</math> חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של <math>\operatorname{char}(F)</math>, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], והדבר הדבר מבטיח שכל הצגה של <math>G</math> תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
יש התאמה חד-חד-ערכית בין הצגות של החבורה G על מרחבים וקטוריים מעל לשדה F, לבין [[הצגה (אלגברה)|הצגות]] של [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] <math>\ F[G]</math>, שהן הומומורפיזמים של אלגברות, מאלגברת החבורה לאלגברה <math>\ \operatorname{End}(V)</math> של העתקות לינאריות של מרחב וקטורי V מעל השדה. כל הצגה כזו הופכת את V ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל אלגברת החבורה (ולהפך).
 
== הצגות של חבורה סופית ==
לפי [[משפט משקה]], אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של F, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית ומתקיים תנאי משפט משקה, ידועניתן שישלרשום לה(לפי רק[[משפט מספרודרברן-ארטין]]) סופיאת חוג החבורה כסכום ישר של הצגות[[חוג מטריצות|אלגברות מטריצות]] מעל ([[עדחוג כדיעם (מתמטיקה)חילוק|עדחוגים כדיעל חילוק]]: שקילות<math>F[G]=\overset { t }{ \underset { i=1 }{ \oplus } } {M_{n_i}(D_i)}</math>. לכל חוג מהצורה <math>M_{n_i}(D_i)</math> מודול יחיד (אך המודולים ברכיבים השונים '''אינם''' איזומורפיים);. מספר ההצגותהמחוברים <math>t</math> הוא מספר המודולים הפשוטים, והוא גם שווה לממד [[מרכז (אלגברה)|מרכז]] החבורה <math>Z(F[G])</math>, השווה למספר [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת '''[[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]]''' של החבורה.
 
הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי [[משפט איטו]], אם A תת-חבורה אבלית [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]], אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את ה[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] <math>\ [G:A]</math>. סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות שווה לסדר החבורה.
{{אלגברה מופשטת}}
 
[[קטגוריה:תורת ההצגות]]