הצגה ליניארית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הסבת תבנית:עוגן2* |
MikeIoshpe (שיחה | תרומות) עריכה והרחבה |
||
שורה 16:
== הקרקטר של הצגה מממד סופי ==
אם <math>\ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}_n(F)</math> היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה <math>\ \chi(g) = \operatorname{tr}(\pi(g))</math> המוגדרת לפי חישוב ה[[עקבה (אלגברה לינארית)|עקבה]] של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא ה'''[[קרקטר (תורת החבורות)|קרקטר]]''' (character) של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של '''הצגה חד-ממדית''' שווה להצגה עצמה.
שורה 22 ⟵ 21:
באופן דומה, אם g,h הם שני אברים צמודים בחבורה, דהיינו <math>\ h=xgx^{-1}</math> עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.
== הצגות של חבורה סופית ==▼
כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית, ידוע שיש לה רק מספר סופי של הצגות ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שקילות); מספר ההצגות שווה למספר [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת '''[[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]]''' של החבורה.▼
הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי [[משפט איטו]], אם A תת-חבורה אבלית [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]], אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את ה[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] <math>\ [G:A]</math>. סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות שווה לסדר החבורה.▼
== הצגות ואלגברת החבורה ==
יש התאמה מלאה בין הצגות של חבורה <math>G</math> אל מרחבים וקטוריים מעל לשדה <math>F</math> לבין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] מעל [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] <math>F[G]</math>, הנתונה על ידי הגדרת הפעולה <math>g \cdot v = \rho (g) (v)</math>. לכן יש גם התאמה אל ה[[הצגה (אלגברה)|הצגות]] של אלגברת החבורה. תחת התאמה זו, הצגות [[הצמדה (תורת החבורות)|צמודות]] עוברות אל מודולים איזומורפיים, סכום של העתקות עובר אל [[סכום ישר]] של מודולים, וההצגה הרגולרית (השיכון בעזרת חבורת הסימטריה) עוברת אל <math>F[G]</math> כמודול מעל עצמו.
לפי [[משפט משקה]], אם <math>G</math> חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]]
▲== הצגות של חבורה סופית ==
▲לפי [[משפט משקה]], אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של F, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
▲כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית ומתקיים תנאי משפט משקה,
▲הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי [[משפט איטו]], אם A תת-חבורה אבלית [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]], אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את ה[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] <math>\ [G:A]</math>. סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות שווה לסדר החבורה.
[[קטגוריה:תורת ההצגות]]
|