אלגברה מדורגת – הבדלי גרסאות

'''מודול מדורג''' שמאלי מעל חוג מדורג <math>R = \oplus_{g \in G}{R_g}</math>, הוא [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מהצורה <math>M= \oplus_{x \in G} {M_x}</math>, כך שכל <math>M_x</math> היא תת -חבורה של <math>M</math>, ו-<math>R_g \cdot M_x \subseteq M_{gx}</math>. איברי תתי החבורות <math>M_x</math> נקראים איברים הומוגניים. תת-מודול <math>N \le_\ell M</math> הוא '''תת-מודול מדורג''' אם מתקיים <math>N= \oplus_{x \in G} {N \cap M_x}</math>, ובמקרה זה על מודול המנה מוגדר מבנה מדורג לפי <math>(M/N)_x = (M_x+N)/N</math>. '''הומומורפיזם מודולים מדורגים''' <math>M=\oplus_{x \in G} {M_x} \to N=\oplus_{x \in G} {N_x}</math> הוא [[הומומורפיזם]] מודולים כך שמתקיים <math>f(M_x) \subseteq N_x</math>.

[[רדיקל ג'ייקובסון]] של מודול-מדורג, המסומן <math>J^{gr}(M)</math>, הוא חיתוך כל תתי-המודולים המדורגים המקסימליים. מתקיימת [[למת נקיימה]] בגירסאבגרסה המדורגת - אם <math>M</math> מודול מדורג שמאלי נוצר סופית, אז <math>J^{gr}(M)M \neq M</math>. אם <math>M=R</math> מודול מעל עצמו, מתקיים <math>J^{gr}(R) \subseteq J(R)</math>, וכן <math>J(R)^{|G|} \subseteq J^{gr}(R)</math>.