|
ב[[מתמטיקה]], הומולוגיה היא סדרה של [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] שאפשר להתאים לאובייקטים מסויימים. ההומולוגיה <math>H_i(X)</math> של האובייקט X (כאשר i אינדקס שלם) מחושבת בדרך כלל מתוך [[קומפלקס שרשרת|קומפלקסי שרשרת]] <math>\ C(X)</math> (זוהי למעשה [[הומולוגיה של קומפלקס שרשרת]], <math>H_i(X):=H_i(C(X))</math>). בניית הקומפלקס <math> C(X)</math> אינה קנונית, ועם זאת חבורות הקוהומולוגיה המתקבלות מן הקומפלקס תלויות אך ורק ב-X. בכך עוצמתה של הטכניקה הזו: האפשרות לבנות את קומפלקס השרשרת בדרכים שונות מאפשרת לחשב את חבורות ההומולוגיה, והיא גם מראה שההומולוגיה אינה תלויה בפרטי המבנה של X עצמו, אלא בתכונות "רכות" שלו.
{{לפשט|סיבה=הערך אינו מכיל מבוא ראוי, ומכיל כמעט אך ורק דוגמאות של מה ניתן ומה לא ניתן לעשות, במקום לבנותם באופן מסודר ובהדרגה}}
ב[[מתמטיקה]],חבורות הומולוגיה היאאפשר שםלהגדיר כללי למשפחה של [[שמורה (מתמטיקה)|אינווריאנט]]ים<sup>{{אנ|Invariant (mathematics)}}</sup> שלעבור אובייקטים שוניםשלכאורה מכמהאין תחומים.ביניהם הומולגיות מוגדרות עבורקשר: [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]], [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], [[קומפלקס שרשרת|קומפלקסי שרשרת]] ועודוכדומה. אובייקטים קשורים.
עבור אובייקט <math>X</math> מסמנים את ההומולוגיה ה-<math>i</math> של <math>X</math> ב-<math>.H_i(X)</math> ה[[אינדקס (מתמטיקה)|אינדקס]] <math>i</math> הוא [[מספר שלם]] וההומולוגיה היא, כמעט תמיד, [[חבורה אבלית]]. לעתים מוגדרים עליה גם מבנים נוספים.
ניתןאת להעשירמושג אתההומולוגיה המושגאפשר הומולוגיהלהעשיר על -ידי הוספתהוספה של מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי <math>X</math> וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר [[אלומה (מתמטיקה)|אלומת]] חבורות אבליות מעל <math>X</math>) ▼כמעט בכל המקרים, ניתן להגדיר את המושג הומולוגיה דרך המושג [[הומולוגיה של קומפלקס שרשרת]]. הדרך האופיינית להגדרת ההומולוגיה של <math>X</math> היא להגדיר תחילה קומפלקס שרשרת <math>C(X)</math> ואז להגדיר <math>.H_i(X):=H_i(C(X))</math> הגדרת הקומפלקס <math>C(X)</math> ייחודית לכל סוג אובייקטים (מרחב טופולוגי, חבורה, וכו'). לכל אובייקט <math>X</math> בנית הקומפלקס <math>C(X)</math> אינה קנונית ותלויה בבחירות מסוימות, אבל התוצאה הסופית <math>H_i(X)</math> לא תלויה בבחירות אלו.
<math> GM</math>, ניתן להגדיר את ההומולגיה <math>H_i(X, GM)</math> של <math>X</math> עם מקדמים ב-<math>.G</math> באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה <math>\Gamma</math> עם מקדמים בהצגה <math> VM</math> של <math> .\Gamma</math> .▼
בדרך כלל אפשר להגדיר את ההומולוגיה כ[[פונקטור הנגזר]].
▲ניתן להעשיר את המושג הומולוגיה על ידי הוספת מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי <math>X</math> וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר [[אלומה (מתמטיקה)|אלומת]] חבורות אבליות מעל <math>X</math>)
▲<math>G</math>, ניתן להגדיר את ההומולגיה <math>H_i(X,G)</math> של <math>X</math> עם מקדמים ב-<math>.G</math> באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה <math>\Gamma</math> עם מקדמים בהצגה <math>V</math> של <math>.\Gamma</math>
כמעט תמיד אפשר לראות במושג הומולוגיה מקרה פרטי של המושג [[פונקטור הנגזר]].
==ראו גם==
| 